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3) La normale ombelicale è la normale al piano della conica delle 

 curvature [considerata dal Levi (')] relativa al punto P condotta da P: 

 e il centro ombelicale è il polo di questo piano rispetto alla sfera di 

 raggio unitario e di centro P contenuta nello S 3 di P e della conica. 



4) La congruenza delle normali ombelicali ad una superficie sta- 

 bilisce una rappresentazione conforme fra essa e la superficie parallela 

 costruita secondo quelle normali (prendendo su ciascuna un segmento infi- 

 nitesimo costante h); il modulo della rappresentazione dipende soltanto 

 dal raggio di curvatura ombelicale (e, naturalmente, da h). 



Se si prosegue con continuità la costruzione che fa passare da una 

 superfìcie a quella parallela e infinitamente vicina secondo le normali ombe- 

 licali ( 2 ) si ottiene una V 3 dotata della notevole proprietà di avere le 

 superfìcie del sistema costruito come quasi-asintotiche ( 3 ) nel senso che lo 

 S 5 2-osculatore ad una di esse in un suo punto contiene lo S 3 tangente 

 nel punto alla V 3 ; le loro traiettorie ortogonali (inviluppate dalle rette 

 delle oo 1 congruenze ombelicali) stabiliscono fra due qualsiansi di esse una 

 corrispondenza conforme. 



3. Se si indicano con Xi{u , v) le coordinate cartesiane rettangolari dei 

 punti della superficie, con D 8 la matrice (a 5 righe ed n > 5 colonne) 

 formata con le loro derivate prime e seconde (che per ipotesi ha caratteri- 

 stica 5, quindi Y)\ 4= 0), i coseni direttori k della normale ombelicale in x , 

 e il raggio di curvatura ombelicale q sono dati da 



1/lHf ' Q ~ VI 



avendo posto 

















~òu 



IV 



~òu 2 



1>U IV 



tv* 



E 



F 



[1020] 



[1011] 



[1002] 







F 



G 



[0120] 



[Olii] 



[0102] 







[2010] 



[2001] 



[2020] 



[2011] 



[2002] 



E 



[1110] 



[1101] 



[1120] 



[1111] 



[1102] 



F 



[0201] 



[0201] 



[0220] 



[0211] 



[0202] 



G 



(*) E. E. Levi, Saggio sulla teoria delle superficie eec. [Ann. Scuola Norm. di 

 Pisa, voi. X], n. 37. 



C) La congruenza delle normali ombelicali varia da superficie a superficie. 



(*) La nozione più generale di varietà quasi-asintotica entro una varietà qualsiasi 

 ò stata da me posta fin dal 1912; cfr. Recenti progressi nella geometria proiettiva diffe- 

 renziale degli iperspazi [Internat. Congress of Mathematicians, Cambridge, August 1912]. 



