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e /ì /£ t W2 = A t j ; . 



L J 1 ~ÒU h ì)V h ÌU l ~ÒV m 



Il raggio di curvatura ombelicale q è, naturalmente, nn invariante (assoluto) 

 della superficie per deformazioni di 2 a specie. 

 4. Ciò posto si trova facilmente che: 



5) Esistono infinite ipersfere (V*_j) osculatrici ad una superficie 

 in P (cioè contenenti gli intorni di 1° e 2° ordine di P) ; i loro centri 

 sono nello S„_ 5 normale allo S 5 2- osculatore (alla superficie in P) condotto 

 per il centro di curvatura ombelicale (e non per P). 



6) Se l'ambiente è uno S 6 (n = 6) fra le co 1 ipersfere osculatrici 

 (che determinano in P una involuzione di terne di tangenti) ve ne sono 

 quattro tali che la loro sezione con la superficie nel punto (the è triplo) 

 ha una tangente doppia. 



7) L'inverso dei prodotti delle distanze dei loro 4 centri dallo 

 S 5 2-osculatore (quindi dal centro ombelicale, e non da P), per quanto 

 involga derivale terze, è un invariante (assoluto) per deformazioni di 

 2 a specie ed è espresso da una frazione che ha per numeratore l'inva- 

 riante Gaussiano (relativo) della 3" forma fondamenta/e, 



4 (L 30 L,o — L21) (L 51 L 03 — L; 2 ) — ( 1j 3 o L 03 — L«i Tj i5 ) 2 , 



quindi 



8) se quest'invariante è nullo una almeno delle distame indicate 

 diviene infinita. 



Ma di più si possono caratterizzare proiettivamente le superficie (sempre 

 di S 6 ) per le quali ciò accade. Infatti 



9) se i tre sistemi di quasi-asintotiche di una superficie di S 6 

 determinati su di essa dagli S 5 2-osculatori (cioè aventi per tangenti in 

 ciascun punto le tangenti nel punto triplo dell'i sezione determinata 

 dallo S 5 ) si riducono a due soli distinti, cioè se esiste un sistema doppio 

 di quasi -asintotiche, allora essa ha l' invariante Gaussiano per deforma- 

 zioni di 2 a specie nullo; e viceversa. 



Se poi si avesse un solo sistema (triplo) di quasi-asintoticlie, si annul- 

 lerebbe, oltre l' invariante, il covariante Gaussiano e si ritroverebbe un risul- 

 tato contenuto nella Nota II, n. 4. 



5. È evidente l'analogia delle proprietà esposte in 6)-9) per le super- 

 ficie di S 6 (in rapporto alle deformazioni di 2 a specie) con le proprietà 

 delle superficie di S 3 (in rapporto alle ordinarie applicabilità). 



Come per le superficie di S 3 (e soltanto per queste) si può dare una 

 interpretazione geometrica della curvatura di Gauss per mezzo di misure 

 eseguite nell'ambiente (fuori, quindi, della superficie) così per le superficie 

 di S» si può costruire con elementi esterni ad esse un'interpretazione geo- 



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