— 60 — 



I valori della funzione V(r , z) sulla superficie laterale siano dati da 



una funzione \p{z) continua e che si suppone sviluppabile in serie di Fourier 

 nell'intervallo (0,a): dovrà essere dunque 



(3) V(l,*) = y(«) con /•(!) = V(0) , 9 (i) = V ,( a ), 



le due ultime esprimendo che la xp si attacca con continuità alle /",<?,. pas- 

 sando dalla superfìcie laterale alle basi. 



1. Determinazione formale della V. — La V(r,z) soddisfa alla 

 equazione 



(4) J , w = lAL r 2l\ + ^l = . 



V:' r1r\ Ir) 1 D5 S 



di questa considero i seguenti tre tipi fondamentali di soluzioni : 

 + , (Ce H * + De~ kl ) l Q {kr) , E sen K* I (t Kr) , 



(con a,/9,C,D,E,A,K costanti arbit arie) delle quali la prima evidente, 

 la seconda ben nota (*), mentre la terza si ottiene dalla seconda ponendo 

 E 



£ = iK, C = — D = — . Si osservi che l 9 {tx) è reale essendo I (a;) fun- 



ù 



zione pari. Poniamo allora 



(5) V(r, = + + 



+ £ E n sen — I li ) -|- Y (C„ e«»> + D„ ) I (« n r) , 



i a . \ a / i 



dove le «„ hanno il significato detto prima, e a , /? , E„, C M , D„ sono costanti 

 da determinarsi. Dalla (5) per le (1) (2) avremo 



V(r , 0) = fi + |_ (C„ + D„) I, («„ r) = A, + J_ A„ I («„ r) , 



00 



V(r , a) = oa + £ + £ (C£» a + D n <r a »°) 1 («„r) = B + J B„ I,(«„ r) , 

 i 



quindi per l'univocità degli sviluppi 



B.-A, 



/3 = A , « == , 



C„ + D n = A„ 



(') Vedi Beltrarni, Sulla teoria delle funzioni potenziali simmetriche, Meni. Accad. 

 Bologna, 1881, tomo II; oppure Opere, tomo III. 



