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Applicando il lemma di Abel ('), avremo 

 p 



^ A n+ j I e (a n+ ,-) H f 



<^-H n+1 <* , = 1,2, ...) 



per la relazione precedente e perchè < 1 : quindi la (IO) è equicon- 



K-i 



vergente per < z < a . Ragionando in modo analogo per le altre tre serie 

 si dimostra completamente la nostra asserzione. 



La stessa dimostrazione leggermente modificata mi permette di asserire 

 che la seconda serie nella (5) è equiconvergente in tutto il rettangolo 

 r <. 1 , () < a. 



Ritornando alla (7), questa come serie equiconvergente di funzioni con- 

 tinue rappresenta una funzione continua: questa è altresì sviluppabile in 

 serie di Pourier. Infatti o essa non ha infiniti massimi e minimi e quindi, 

 pel noto criterio di Dirichlet, è sviluppabile ; nel caso contrario basta di- 

 mostrare, seguendo un criterio del Lipsichtz ( ! ), che in ciascuno di questi 

 eventuali punti si ha per ó sufficientemente piccolo 



\Y(fi + ó) — P(/5)|<AJ- 



essendo A una costante e a un numero positivo. La dimostrazione non è 

 difficile applicando i criteri precedenti, quindi per brevità la tralascio. 



Ammesso questo, sarà valida la (8) e la serie del secondo membro sarà 

 equiconvergente nell'intervallo < s a . Ma allora la seco.nda serie 

 nella (5) diventa 



(12) X E; sen 



MT) 



l 



/ inn\ 



Ora, questa serie si ottiene dalla (8) moltiplicandone i termini per i 

 numeri 



L„ v 



I, 



(in7z\ 



Si osservi che 

 e che inoltre 



0<L„<1 (0 < r < 1), 



L«+i < L„ , 



(*) Vedi Cesàro, Corso di Analìii algebrica. Torino, 1884, pag. 126. 

 ( 2 ) Vedi Picard, Traiié d'Analyse, tomo I, 2 a ediz., pag. 245. 



