x 3 = « , x 4 = /? , le da — , df} = 0, cioè : 



( 1 ) a u du -f- «Vy = , p'du + /? f rf» = 0, 



«7 — a°p u = . 



Questa equazione è di 2° grado in x x , ^ 2 • Dunque, coni' è ben noto, i fochi 

 (di 1° ordine) di un piano di 2 formano in generale una conica. La diremo 

 conica focale del piano. 



3. Se un punto è foco di 2° ordine, ossia sta su 3 piani infinitamente 

 vicini n , ti , re" di .5, esso, perchè è su ti , ti', sta sulla conica focale di tv; 

 e, perchè è su ri' , nr'', sta sulla conica focale di n'. Per avere dunque nel 

 piano (u , v) un foco di 2° ordine, basterà scrivere che il punto x sta sulla 

 conica focale di questo piano, e su quella del piano (u -f- da , v -f- ^y). 

 La l a condizione dà: 



la 2 a dà, come al n. 2, le (1), e in più J u du -j- J v ctv == 0. Ne segue: 



Sarà perciò quest'ultima equazione (doppia), che, insieme colle (3), carat- 

 terizzerà i fochi di 2° ordine 



Quella matrice, con due colonne lineari in x x , x 2 e una quadratica, 

 è annullata da 5 punti. Dunque: su ogni piano di 2 vi sono in generale 

 5 fochi di 2° ordine (sulla conica focale). 



4. Dimostriamo ora che: se lutti i punti delle coniche focali di 2 son 

 fochi di 2° ordine, il loro luogo non è una V 3 , ma bensì una superficie 

 (o una linea, se 2 si compone dei piani di S 4 passanti per una stessa 

 retta). 



Possiamo pensare i punti x di quelle coniche (3) come funzioni di tre 

 variabili, cioè dei parametri u , v che fissano il piano, e della coordinata x x . 

 La terza delle equazioni (3) determina anzi tutto x% come funzione impli- 

 cita di u , v , x x ; mentre le prime due dànno x 3 e x 4 in funzione di u,v, 



(') Si può anche ottenere la (4) così. I piani di 2 passanti per un dato punto x 

 corrispondono alle soluzioni u,v comuni alle due equazioni % 3 = a , # 4 = /S, nelle quali 

 si sia posto quel punto dato. Eappresentando u , v come coordinate di punto in un pigino 

 ausiliario, sicché le dette equazioni avranno per imagini due linee, si vede che una solu- 

 zione (u v) sarà doppia (almeno), se dalle due equazioni si trae lo stesso valore per 

 dv/du, e sarà tripla se inoltre vien lo stesso valore per d'v/du*. La l a ipotesi dà subito 

 la (2). La 2 a porta ad una relazione, che, presa insieme colla (2), risulta equivalente a (4). 



(3) 



a , x 4 = § , J = ; 



(4) 



a" /?" J' 



a" §P J' 



u 



= 0. 



