— 69 — 



Xi ,x 2 , e quindi anche di u , v , x x . Basterà provare che, se queste funzioni 

 verificano le (4), la matrice funzionale delle coordinate ce, . x 2 , x 3 , jc 4 , ri- 

 guardate così come funzioni di x l ,u,v, è nulla; ossia che: 







l)Xl 



~òx 2 



~ÒU 

 ~òXi 



a u -\- a 2 



u» + « 2 



~òX<i 



ìv 



h + #2 



F + ^ 



~ÒV 



= 0, 



Ciò equivale a dire che è zero la matrice che si ottiene da questa soppri- 

 mendo la l a orizzontale e la l a verticale; ossia, semplificando, la matrice: 



~ÒU 

 1)X<> 



~òv 



fi- 

 fi 



Le derivate' di x 2 rispetto a u e v , che qui compaiono, si calcolano deri- 

 vando l'equazione J = rispetto a queste variabili. Risulta: 



~ò J ~vXz 



~òx 2 ~i>u 



-f- J" = 



7>J <># 2 , T ,„ 



\- J' = ; 



ìx t ~òv 1 



sicché, sostituendo nell'ultima matrice, questa risulta nulla, se ha luogo 

 la (4): il che appunto avviene, per ipotesi. — 



Se le coniche focali dei piani generici di 2 non si spezzano, la super- 

 ficie che viene a contenere queste oo 2 coniche non potrà essere altro, coni' è 

 noto, che la F 4 proiezione di quella di Veronese, o la F 3 di S 4 (rigata). 

 Dunque: Son solo i sistemi oo 2 di piani costituiti dai piani delle coniche 

 di queste due superfìcie quelli per cui avviene che tutti i punti delle co- 

 niche focali sian fochi di 2° ordine, senza che queste coniche focali si 

 spezzino ( 1 ). 



5. Una curva r, appartenente ad S„, con w^>3, sia tale che esistano 

 oo 2 piani che la seghino in 6 (o più) punti. Proiettando r (se n ^> 4) su 

 un S 4 da un S n _ 5 generico, si ottiene una curva C, che godrà della stessa 



( x ) Questa riserva è indispensabile. Le oo 8 coniche, spezzandosi in coppie di rette, 

 potrebbero costituire una superficie di S 4 anche nei seguenti modi: l'insieme di una 

 rigata con direttrice piana e del piano di questa (le oc 2 coniche componendosi di una 

 generatrice della rigata e di una retta del piano, incidenti); oppure l'insieme di due 

 coni, distinti o no, collo stesso vertice, e che possono anche ridursi a piani (le coniche 

 componendosi con due generatrici risp. dei due coni). 



