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nel qual caso questi si otterrebbero proiettando da quel punto le rette di 

 una congruenza di 2° ordine di S 3 . Potranno dunque aversi solo più questi 

 due casi: 1°) Sono oo 2 i fochi di 2° ordine; ma essendo anche oo 8 i piani, 

 bisognerà che ogni piano abbia oo' fochi di 2° ordine. Ne segue che la 

 conica focale di ciascun piano si spezza: se no, si tratterebbe (n. 4) dei 

 sistemi degli oo 2 piani delle coniche di una F 3 o F 4 , i quali sistemi sono 

 risp. di 1° e di 3° ordine, non del 2°. Su ogni piano si avranno così una 

 o due rette luoghi di fochi di 2° ordine; e queste rette riempiono, per ipo- 

 tesi, una superficie. Se sono oo 2 , daranno un piano incontrato in rette da 

 tutti" i piani di 2; se sono oo 1 , per ognuna di esse passeranno oo 1 piani 

 di 2. 2°) I fochi di 2° ordine (o almeno le posizioni di un tal foco al 

 variare del piano 2) son solo co 1 , ossia hanno per luogo una linea alge- 

 brica segata in 5 punti (o meno, se non si tratta di tutti i fochi di 2° or- 

 • dine) dai piani di 2. 



Questo 2° caso offre uno speciale interesse. Si parta, ad esempio, da 

 una linea algebrica L, che può essere riducibile, appartenente ad S 4 , della 

 quale si sappia che la proiezione generica su S 3 ammette precisamente 2 qua- 

 drisecanti. Allora si potrà asserire che gli oo 2 piani quadrisecanti di L 

 (i quali, per l' ipotesi, formeranno un sistema di 2° ordine) incontreranno 

 certo di conseguenza in un punto (il 5° foco di 2° ordine) un'altra linea: 

 che però potrebbe essere indeterminata, su una superficie incontrata secondo 

 linee da tutti quei piani. 



Rientra in questa proposizione il noto teorema che gli oo 2 piani di S 4 

 appoggiati a 4 rette generiche incontrano di conseguenza una 5 a retta. 

 Anche i piani che incontrano in 3 punti una quaitica razionale normale e 

 si appoggiano a una retta generica, formano un sistema oo* di 2° ordine; 

 e quindi dovranno incontrare un'altra linea, che risulta facilmente essere 

 ancora una quartica. E altri casi sono stati incontrati, con tutt'altro metodo, 

 da M. Pieri f 1 ). 



( l ) Sulla geometria proiettiva delle foime di 4 a specie. Giorn. di mate» , voi. 28 

 (1890), pag. 209. I piani che incontrano una O razionale normale e 3 sue corde, incon- 

 trano un'altra C 4 . — I piani che incontrano una C 3 sghemba, due rette appoggiate ad 

 essa, e una sua corda, incontrano un'altra C 3 . — I piani che s'appoggiano a 3 rette e 

 ad una conica incidente a due di esse, incontrano un'altra conica. 



