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tano a sostituire ai parametri u nuovi parametri"! e mediante sostituzioni 

 lineari a coefficienti interi, unimodulari, tra le verticali (che portano a so- 

 stituire un sistema di periodi primitivi con un nuovo sistema di periodi 

 primitivi). 



Ne viene che le trasformazioni eseguite in I, 3 non alterano la varietà 

 , ma permettono di introdurre in questa un sistema più comodo di para- 

 metri U ed un più semplice sistema di periodi (13). Al contrario, la 

 trasformazione di parametri (I (16)), \J l = ót>i, quando <?>1, e l'ado- 

 zione della matrice di periodi (17) porta a rappresentare i punti Ui della 

 varietà Y p sui gruppi di una involuzione d'ordine óp~ 1 appartenente ad una 

 nuova varietà abeliana W p descritta dal punto v t ; il gruppo generico della 



Premesso ciò, riprendiamo la funzione intermediaria (p((u)) o 5p 2 ((U)) 

 (I, nu. 1-3). L'equazione (p = o </> 2 = rappresenta una varietà alge- 

 brica <t> a p — 1 dimensioni entro Y p , varietà intermediaria. La corrispon- 

 denza algebrica (1 , d* -1 ) ora considerata tra Y p e W p muta la <Z> in una 

 nuova varietà intermediaria di YV P , appartenente all'involuzione suddetta; 

 la quale varietà è rappresentata dall' annullarsi della funzione d'ordine ó 

 data dalle forinole (18) e (19), e può quindi chiamarsi varietà d'ordine à. 

 Con ciò il risultato si presenta così: 



Data entro una varietà abeliana Y p una varietà intermediaria <P 

 (a p — 1 dimensioni) di determinante ó ^> 0, è sempre possibile trasfor- 

 mare la Y p in una nuova varietà abeliana W p con una trasformazione 

 razionale (1 , <^ -1 ), in guisa che la <P si muti in una varietà d'ordine ó 

 della W p . E viceversa, ad ogni varietà d'ordine ó di W p appartenente 

 alla involuzione ivi esistente corrisponde una varietà intermediaria di V p . 



Ora una funzione d'ordine d contiene linearmente Sp costanti arbi- 

 trarie; ma se la è costretta a verificare le condizioni I (19), il numero 

 di queste costanti si riduce a e x e 2 ... e p — è ( L ). Sicché la varietà di Wp 

 dell'ultimo teorema, e quindi anche la <2> di Y p , appartiene ad un sistema li- 

 neare oo 2 - 1 . Se però insieme alla <P si considerano le sue trasformate, entro 

 V p> mediante le ooP trasformazioni ordinarie di 2 a specie ui = Ui -\~ cosi, 

 si conclude : 



Una varietà intermediaria di determinante ó, entro la varietà abe- 

 liana Y p , appartiene ad un sistema algebrico continuo oo^ 0-1 costituito 

 da oop sistemi lineari di dimensione d — 1. 



p varietà generiche del sistema continuo hanno piò punti comuni. 

 Infatti p varietà di ordine à di W p hanno in comune (Poincaré, Wirtinger) 



(*) Cfr. Krazer, Lehrbuck der Thetafunktionen (Teubner, 1903), pag. 126. 



involuzione essendo 



percorre 



i numeri 0,1,..., — — 1 . 



Ci 



