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pi ò* punti, i quali si distribuiscono, nel nostro caso, in pi à gruppi della 

 involuzione esistente su W p . A questi gruppi corrispondono altrettanti punti 

 di V p comuni a p varietà d> 



6. Supponiamo ora di conoscere due funzioni intermediarie 5Pi((m)), 

 q>i((u)) relative alla stessa matrice (1); siano à t , J 2 i due loro determinanti, 

 non nulli, e m$i-m$ i loro interi caratteristici. Nel caso, di maggiore inte- 

 resse, che le mfH non siano proporzionali alle m$, la matrice (1) possiede 

 due diverse forme bilineari alternate (I, n. 2), ed è quindi singolare (Scorza). 



Presi come esponenti due numeri interi positivi r x , r 2 , formiamo la 

 funzione 



(23) <p = g>p </>? 



che è pure intermediaria, coi periodi (1), e i numeri caratteristici ^wf^-)- 

 -\-r t m ( $. 11 determinante ó di g> è il pfaffiano, in valore assoluto, della 

 matrice quadrata H^m^-f- r 2 m% ||; è quindi una forma d'ordine p in ?"i,r 2 : 



(24) «T = I r\ + ^ I, rr l r, + I 2 r?" 1 rH h I„ ^ . 



dove I = (Ji , I p = <f 2 . 



Se <P, , <J> 2 sono le varietà intermediarie a — 1 dimensioni, in V p , 

 rappresentate da 9, = , g> 2 = , la varietà <P rappresentata da 91 = ap- 

 partiene a un sistema continuo che. con le notazioni della geometria alge- 

 brica, si suole indicare col simbolo { (/>,-{- r 5 <f> 2 ( . 



Il numero delle intersezioni di p varietà generiche del sistema è p\3 

 (n. 5). D'altra parte il numero stesso è dato simbolicamente da 



(25) [r, 0, + r,<I>,]*= HW] + ({ ) rr l r t [flf- 1 0> 2 ] H f- [<Pf] , 



dove [<Pf~ h d>^] indica il numero delle intersezioni di p — h varietà appar- 

 tenenti al sistema { <2>! ( ed h varietà appartenenti al sistema { <I> 2 j . Poiché 

 la espressione (25) ha lo stesso valore della (24) moltiplicata per p ! in cor- 

 rispondenza ad ogni coppia di numeri interi positivi r, , r 2 , segue che 



(26) \&F*Q*}=P 11 *- 



Quindi i coefficienti della forma binaria (24), che sono invarianti si- 

 multanei delle due funzioni intermediarie <p x , y> 2 , hanno il significalo geo- 

 metrico assegnato dalle (26). 



7. Il risultato si può facilmente estendere al caso di tre più funzioni 

 intermediarie. La massima generalità si ottiene colla seguente considerazione. 



( x ) Il Lefschetz nella Memoria inedita già citata arriva a questo e al successivo 

 risultato mediante considerazioni di Analysis situs. 



