— 110 — 



MEMORIE E NOTE PRESENTATE DA SOCI 



Matematica. — Su due proposizioni di J. W. Lindeberg e 

 E. E. Levi, nel Calcolo delle variazioni. Nota II di Leonida 

 Tonelli, presentata dal Socio S. Pincherle 0). 



Per gli integrali in forma non parametrica 

 (1) l e = f(x , y , y) dx , 



- ' c ' 



relativi cioè alle curve date da un'equazione y == y(x), il Lindeberg ha di- 

 mostrato la proposizione analoga a quella da lui stesso stabilita per gli inte- 

 grali in forma parametrica e da noi riportata nella Nota I ( 2 ) limitandola a 

 quelle curve per le quali la funzione y x) corrispondente ha la derivata 

 prima sempre, in modulo, inferiore ad uno stesso numero ; con altre parole, 

 ha provato che: 



« Se C è una curva la cui funzione corrispondente y (x) è continua 

 insieme con le sue due prime derivate, e se su di essa valgono le condi- 

 x zioni di Legendre e di Weierstrass, prese in senso stretto, scelti comunque 

 due numeri positivi, s e e', si può determinarne un altro q in modo che sia 

 sempre I c — I C() ^>0, per ogni altra curva ordinaria ( 3 ) C, avente gli stessi 

 estremi della C , soddisfacente ovunque alla disuguaglianza \ y{x) — y«(x)\<C.Q 

 e tale che la lunghezza complessiva degli intervalli dell'asse x , sui quali è 

 sempre \y'(x) — y[{x) | > risulti maggiore di e». 



Volendo conferire a questo enunciato tutta la generalità che ha la pro- 

 posizione corrispondente del Lindeberg, relativa agli integrali in forma pa- 

 rametrica, è necessario di liberare l'enunciato stesso dalla condizione rela- 

 tiva alla limitazione del modulo della derivata y'(x). Questo scopo fu rag- 

 giunto dal compianto prof. E E. Levi, il quale superò la grave difficoltà che 

 qui si presentava per mezzo del seguente teorema: 



« Se, in un campo finito e chiuso T di valori (x , y , y), sono soddisfatte 

 le condizioni f y t y t[x y y) > 0, E(x ,y;y', y') >0 , per ogni y'=^y' [E es- 

 sendo la funzione di Weierstrass relativa all'integrale (1)]; e se Ti è un 

 campo chiuso, contenuto in T, per il quale esiste un d > tale che ogni 

 punto di T t sia il punto di mezzo di un segmento di lunghezza 2ó paral- 



( x ) Presentata nella seduta del 5 dicembre 1920. 



( 2 ) Questi Rendiconti, pag. 19. 



( 3 ) Composta cioè di un numero finito di archi per ciascuno dei quali la y(x) abbia 

 la derivata prima finita e continua. 



