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lelo all'asse y' e totalmente contenuto in T, allora si possono determinare 

 due numeri positivi a e 11 per modo che, se \y' — y' | "> e (x,y,y') è 

 in Tj , si abbia 



(2) E(x,y,y\y')>fi\y'-y'\ ». 



Dopo ciò, e ammesso che sulla curva C valga la condizione di Le- 

 gendre in senso stretto e che la condizione di Weierstrass sia verificata in 

 modo da aversi, per ogni x dell'intervallo su cui è definita la y {oc), ed 

 ogni coppia y,y' soddisfacente alle \y — y<>{x) | •< r , y' — y<>{x)\<Cr 

 (r essendo un numero positivo, comunque piccolo) e qualunque sia y =$= y\ 



ìVW', y) ^> 0, la proposizione del Lindeberg, secondo quanto ha mo 

 strato il Levi, vale indipendentemente dalla restrizione dianzi accennata. 



Per estendere il teorema, così ottenuto, conformemente a quanto si è 

 fatto nella Nota I, occorre una preliminare estensione del teorema del Levi 

 sopra riportato. A questo intento, ho cominciato col liberare completamente 

 il teorema del Levi dalla condizione f y < y <{x , y , y) ^> , e ne ho poi otte- 

 nuta questa generalizzazione: 



« Se T è un campo limitato e chiuso di punti {x,y ,y'), ed esiste un 

 numero positivo S tale che, per ogni (x , y , y') di T e ogni y soddisfacente 

 alla | y' — y'\ , sia E(x , y ; y' , y') > per qualunque y =f= y , scelto 

 ad arbitrio un numero e > , se ne possono determinare altri due v e , 

 pure 0, in modo che, per ogni numero q tale che sia \q — f(x , y , y) \ < v , 

 si abbia 



f(x y y') ■— A* i y i y') — ?(P' — y') > p W — y'\ 



per tutti i punti (x y y) di T e tutti gli y' soddisfacenti alla | y' — y \ >.tf ». 



Servendomi di questa generalizzazione del teorema del Levi, sono riu- 

 scito a dimostrare le due proposizioni che seguono, le quali forniscono due 

 successive estensioni del teorema del Lindeberg: 



1°) « Se C è una curva di equazione y = y {x), (« < x < b ) , con 

 y {x) funzione assolutamente continua e: 



a) per ogni punto x di (a , b a ) in cui esiste finita la y[(x) si può 

 determinare un numero positivo g(x) tale che, per tutte le terne (x , y , y') 

 soddisfacenti alle \x — x \ < q(xì , | y — y (x) \ < g{x) , \ y' — y' (x) | < q(x), 

 e per qualsiasi y' ={= y , sia E(x , y ; y' , y') ; 



b) per ogni altro punto x di (a , b ) dove la y[{x) non esiste o è in- 

 finita, si hanno due numeri y'(x) , q(x) , il secondo dei quali positivo, in modo 

 che soddisfatte le \x — x | q(x) , j y — y<>{x) | <. q(x) , | y' — y\x)\ < g(x), 

 e per qualsiasi y'^y', sia ancora E(a? ., y ; y r , y ') > ; 



scelti ad arbitrio due numeri positivi e e A, è sempre possibile di 



( J ) Per 1 = f{x , y , y') , questa disuguaglianza coincide con la (2). 



