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determinare altri due q ed e in modo che si abbia I c — I Co > s , per ogni 



curva C di equazione y = y(x) (a < x <. b) , con y{x) funzione assoluta- 

 mente continua, la quale appartenga propriamente all'intorno (q) della C (') 

 e sia tale che l'insieme dei punti dell'asse x soddisfacenti alla \y'(x) — 

 — yl(x) J > o risulti di misura > l » . 



2°) « Se C è la stessa curva del teorema precedente e su essa sono 

 ancora verificate le condizioni a) e b)\ se, inoltre, esistono due numeri po- 

 sitivi J e fi, in modo che, per tutti gli x considerati nella condizione a) 

 sia sempre g(x) < J , E(# , y (x) ; y\ x) , y' Q (x) ziz q(x) ) > fi ; scelto ad ar- 

 bitrio un d > , è sempre possibile di determinare altri due numeri posi- 

 tivi s e Q y tali che si abbia I c — I Co ^>£, per tutte le curve C, di cui 

 sopra, appartenenti propriamente all'intorno (g) della C e soddisfacenti 

 alla L — L < (J, L e L essendo le lunghezze delle C e C , rispettiva- 

 mente » . 



In questo secondo enunciato, alla disuguaglianza L — L > d può so- 

 stituirsi l'altra 



dove (a , b') rappresenta l'intervallo comune ai due (a , b ) , (a , b) . 



Tanto in 1°) che in 2") le condizioni a) e b) possono sostituirsi con 

 le altre due: che sia sempre f y < y , (x , y , //') ]> e che esista un numero 

 positivo m tale che, in tutto un intorno della C e per ogni y in modulo 

 maggiore di uno stesso numero positivo, sia \y'\ 3 f y ' y '{x y y') > m . Queste 

 due condizioni sono, in particolare, soddisfatte se la funzione f è della 

 forma g(xy) j/1 -\- y' z con g(xy)^>0. 



Ai teoremi precedenti si può aggiungere questa nuova proposizione: 



è un altro integrale del tipo (1) e G è la curva più sopra indicata, ed 

 esiste un numero positivo m tale che, per tutti i punti (xy) di un intorno 

 della C valga sempre la f y < y <{x , y , //) > mg y < y \x , y , y') , per qualsiasi y\ 

 preso ad arbitrio un numero positivo ó se ne possono determinare altri 

 due e e Q in modo che, per ogni curva C : y = y(x) , (a <x < b) , con y(x) 

 funzione assolutamente continua, la quale appartenga propriamente all'in- 

 torno (q) della C e soddisfi alla J c — J C|) ><f, si abbia I c — I Co ^>«». 



(*) Ciò vuol dire che, per ogni x comune ai due intervalli (a , b ) , (a , b) è 

 \y( x ) — Vo( x )\ <£> e che i punti i quali appartengono all'uno o all'altro dei due inter- 

 valli, senza appartenere ad entrambi costituiscono (al più) due segmenti di lunghezza < q, 

 e ciascuno degli archi delle curve e C che corrispondono a questi segmenti è interno 

 al cerchio di raggio q avente per cento l'estremo corrispondente di C„ . 



« Se 



g{x , y , lì 



'' dx 



