L'integrale (1) pertanto — nelle ipotesi fatte ed a meno di un fattore 

 infinitesimo — diventa 



fvxtd*= ( VX 



Js Js 



di': 



cioè la circuitazione superficiale, al tendere della superfìcie ad una por- 

 zione piana limitata dalla curva s, tende all' espressione dell'ordinaria 

 circuitazione lungo il contorno s. 



2. Analogamente a quanto succede per l'ordinaria circuitazione, si ha 

 che, se esiste potenziale di moto, la circuitazione superficiale è indipen- 

 dente dalla superficie chiusa lungo la quale è calcolata. 



Se infatti le velocità dipendono da un potenziale, y> = g>(x , y , z) , 

 avendosi 



~iq> T^cp 

 u = — , v = — , w — — , 

 ~ìsx ~òy 12 



per una espressione trovata nella Nota I, si ha 



,2) C^/fJ^-^,,, 



avendo posto l'equazione della superficie a sotto la forma z = z(xy). 



L'integrale (2) dovrà essere indipendente dalle variazioni di z. Ed 

 invero, chiamando con F la quantità sotto il segno, dal calcolo delle varia- 

 zioni sappiamo che deve essere soddisfatta la condizione 



~òz dx ~òp dy ~òq 

 si ha infatti identicamente 



7> 2 cp l> 2 g> . Yy> ~ò 2 g> Vcp !> 2 <p . 



— q — p + — + p — — — = 0. 



~òx ~òz ~ìy ~òz ~òx ì>y ~òz hy ~òx 1y ìx ìz 



Il ragionamento fatto può evidentemente ripetersi per ciascuna delle 

 altre componenti del vettore della circuitazione superficiale. 



3. Con uguale facilità si dimostra la proprietà reciproca, e cioè: se la 

 circuitazione superficiale è nulla, il moto del fluido è irrotazionale. 



Dalla (1), per una forinola nota (*), si ha 



(3) C= Cv A nd(T= frotVefc 



J a 



avendo indicato con x il volume di fluido racchiuso dalla superficie a. 



f 1 ) C. Bnrali Porti e R. Marcolongo, Elementi dì calcolo vettoriale. Bologna, Zani- 

 chelli, 1909. 



