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per guisa che le (1) , (2) stacchino sopra un generico piano y = cost. le p 

 curve d'ordine m — 3 linearmente indipendenti, aggiunte alla curva sezione 

 di F con quel piano. Queste p curve divengono dipendenti solo per un nu- 

 mero finito di valori critici del parametro y. Vi è poi un numero finito 

 di calori singolari di y in corrispondenza a ciascuno dei quali la sezione 

 piana y = cosj- si abbassa di genere. 



Le (1) posson inoltre essere scelte in modo che non esista alcun valore 

 di y critico pel loro sistema (cioè in modo che esse stacchino sopra ogni 

 piano y = cost. q curve indipendenti). 



Ciò premesso, pongasi 



(3) Ui=jj f dx ' (i=l,...,p). 



cosicché, per un valore generico di //, l'integrale (3) è un integrale abeliaao 

 di l a specie della curva f(x,y,z) — Q (integrale che può diventare di 

 3* specie soltanto in corrispondenza ai valori singolari di y). 



Fissato uno, 0, degli m punti d'intersezione di F colla retta all'infi- 

 nito comune ai piani y = cost. (punti base del fascio di sezioni prodotte 

 su F da questi piani), poniamo in l'origine dei cammini d'integrazione 

 per gl'integrali (3). Designamo inoltre con asi {x\ ,y,j l ),... , x p [x p , y ,z p ) 

 p punti variabili sulla curva f(x , y , z) = 0, corrispondente a un dato valor 

 generico di y, e scriviamo le equazioni : 



(4) Ui ( ' ]) -\- . . ,-\-ui (Xp) = d [modd. periodi degli integrali (3)] , 



ove le ci sono costanti arbitrarie ed i cammini d' integrazione conducenti allo 

 stesso punto Xj sono i medesimi per tutti gì' integrali. In base al teorema 

 d'inversione di Jacobi, le (4) saranno soddisfatte da un gruppo ben deter- 

 minato di p punti della sezione considerata. 



Al variare del parametro «/, questo gruppo di punti descrive una curva 

 analitica C. Quali sono le condizioni affinchè questa curva sia algebrica? 



La curva C sega una sezione piana generica y = cost. in p punti diversi 

 dai punti base del fascio y = cost. ; ma non è eseluso ch'essa possa passare 

 con molteplicità infinita per qualcuno di tali punti. Quando ciò accada, C non 

 è algebrica. Ebbene si prova che l>i condizione necessaria e sufficiente 

 affinchè la curva analitica C sia algebrica, è che le costanti c q+l , . . . , c p 

 abbiano valori nulli (mentre le prime q costanti c t , . . . [, c 9 posson avere 

 valori arbitrari). 



La dimostrazione di questo teorema fondamentale si svolge qui in modo 

 assai più semplice e spedito che nella Memoria di Poincaré, anche per la 

 eliminazione di taluni concetti superflui (valori critici di prima e di seconda 

 specie, valori critici effettivi ed apparenti ecc.), che sono collegati a parti- 

 colarità proiettive della superficie e non alle sole proprietà invarianti per 



