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trasformazioni birazionali ; e per la maniera più elementare con cui si usu- 

 fruisce delle funzioni theta. 



Ognuna delle coordinate di un punto variabile sulla curva C è una 

 certa funzione del parametro y e si dimostra, in primo luogo, ch'essa non 

 può presentare che singolarità di tipo polare, per ogni valore, anche singo- 

 lare, di y, diverso dai valori critici; mentre essa presenta singolarità essen- 

 ziali in corrispondenza ai valori critici, ogni qualvolta le c q+l , . . . , c p sieno 



diverse da zero. Quando invece le c q + x c p sieno nulle, le singolarità 



essenziali spariscono e la C diviene pertanto algebrica. 



Prendendo c q+1 = • • • = c v = 0, e facendo variare comunque le e lt ... ,e 9ì 

 si ottiene su F un sistema continuo oo? di curve algebriche C, a due e due 

 non equivalenti linearmente, e da ciò si trae, come nella mia Memoria sul 

 teorema d'Abel per le superficie ( 1 ), che gl'integrali semplici di l a specie 

 appartenenti ad F sono in numero di q con 2q periodi. 



Il metodo di Poincaré conduce a stabilire l'esistenza su F di un nu- 

 mero finito di curve primitive, la cui nozione equivale sostanzialmente a 

 quella della base cui pervenni nel 1905. 



La odierna rielaborazione getta un ponte di passaggio semplice fra l una 

 e l'altra nozione, attraverso ad un criterio di equivalenza algebrica tra curve 

 della superficie F. Vari sono i criteri di equivalenza che ho esposto in pre- 

 cedenti lavori ; ma si tratta in generale di criteri di equivalenza lineare per 

 curve che già si sappia essere equivalenti algebricamente (appartenenti cioè 

 ad un medesimo sistema algebrico). Per l'equivalenza algebrica ho dato in 

 passato un criterio geometrico ed un criterio trascendente in cui interven- 

 gono gl'integrali semplici di 3* specie ( 2 ). 



Il criterio cui pervengo alla fine di questo lavoro richiede invece l'in- 

 tervento dei soli integrali semplici di l a specie. 



!.. Com'è lecito, quando si tratta di proprietà invarianti per trasforma- 

 zioni birazionali, supponiamo la superficie F dotata di una sola linea doppia 

 nodale e punti tripli ordinari. Sia <p(x ,y ,a) = un'aggiunta d'ordine m — 2 

 (superficie passante per la linea doppia di F), la quale contenga la retta 

 impropria r dei piani y = cost. e seghi fuori di r sopra un particolare 

 piano y = y , una curva d'ordine m — 3 , per cui passi pure una superficie 

 aggiunta ìp (x , y , g) == , d'ordine m — 3 . Avrà allora luogo, per ogni x , g , 

 l'identità: 



<p(.x ,y ,s) = xjj{x ,y ,z), 



donde: 



g>(x , y ; g) — tp(x , y , *) == (y — y ) rj(x,y,g), 



(") Annali di Matematica, 1905. 

 ( 2 ) Mathematische Annalen, 190H. 



