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rj (x ,y , z) = essendo una superficie aggiunta d'ordine m — 3; e questa 

 prova che la superficie g> (x , y , s) .= stacca su ogni piano y = cost. una 

 euiTa appartenente al sistema ivi segnato dalle superficie d'ordine m — 3 

 aggiunte ad F. 



L'ipotesi e la conclusione possono evidentemente riferirsi anche al piano 

 y = oo , in quanto questo può trattarsi come un piano proprio introducendo 

 l'omogeneità nelle coordinate, oppure operando su F colla trasformazione 



Se una superficie d'ordine m — 2 aggiunta ad F e passante per una 

 retta r, taglia fuori di r, sopra un particolar piano passante per r, una 

 curva appartenente al sistema lineare h segato su quel piano dalle su- 

 perficie aggiunte d'ordine m — 3, lo stesso accade sopra ogni altro piano 

 del fascio. 



2. Ciò posto, contiamo da quanti parametri dipendono le superficie 

 aggiunte g> d'ordine m — 2, passanti per r, che staccano sui piani y = cost. 

 curve del sistema lineare h. 



Per ogni curva di h passano ooP + i'« superficie y> (essendo p a il genere 

 aritmetico di F e p -\- p a — 1 la dimensione del sistema lineare 2 delle 

 aggiunte d'ordine m — 3) ; al variare del piano y = cost. le curve dei si- 

 stemi h dipendono da p — q parametri (ove q=p g — p a è l'irregolarità 

 diFejo — q — Ila dimensione di h sopra un particolare piano y = cost.) ( l ); 

 ma ogni g> contiene oo 1 curve dei sistemi h; dunque le q> dipendono da 

 (P +Pa) + (P — q) — 1 = 2/J -f- p a — 1 — q parametri. 



Ora le <p che passano per r dipendono da 2p -\-p a — 1 parametri (perchè 

 esse staccano sopra un piano y = cost. un sistema lineare completo di dimen- 

 sione p — 1) e costituiscono una varietà lineare V, di dimensione 2p-\-p a — 1, 

 cui appartiene la varietà algebrica W, di dimensione 2p-\-p a — 1 — q, 

 delle <jp passanti per r e seganti i piani y = cost. secondo curve dei sistemi h. 



Si può pertanto scegliere entro V un sistema lineare di dimensione q — 1 

 che non abbia in comune alcun elemento colla varietà W. Dunque: 



È possibile scegliere q aggiunte ad F d'ordine m — 2, linearmente 

 indipendenti, e passanti per la retta r: 



(*) Che il sistema lineare 2 abbia la dimensione q —p-\-p a — 1, e quindi che la di- 

 mensione del sistema h segato da 2 sopra un piano y = cost. sia p — q — 1 risulta da un 

 bel teorema di Picard (ved. ad es. una mia Nota in questi Rendiconti, 1908). Qui però 

 non occorre d'invocare questo teorema. Basta invece ricordare (Enriques) che fra le trasfor- 

 mate birazionali della data superficie se ne può sempre scegliere una F (dotata di linea 

 doppia), per la quale il sistema aggiunto al sistema delle sezioni piane sia regolare, cioè 

 di dimensione q. Una volta costruita la teoria degl'integrali semplici di l a specie sul 

 particolare modello F, risulterà, a posteriori, alla maniera di Picard, che per ogni superficie 

 quel sistema aggiunto è regolare. 



X , 1 



(5) 



(f^x , y , *) = , . . . , tp q (x ,y,s) = 0. 



