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h,l = l y ... ,p) le quali soddisfano alle 2p 2 uguaglianze 

 n M = mi p+ h — mnGhi m lp <s hp , 



(32) 



\ i=l 



Di qua risulta (con Hurwitz) che le p relazioni 



(33) -}-•••+■ Mf P ) = »u + ;.(£) H h 



definiscono una corrispondenza algebrica sulla curva C , per la quale ad 

 ogni punto £ corrispondono p punti ti , ... la corrispondenza è simme- 

 trica nel senso di Rosati, cioè equivalente alla propria inversa. 



Per interpretare il risultato teniamo presente che una varietà interme- 

 diaria <2>, entro V p , rappresenta su C una serie algebrica co?-' di gruppi di 

 p punti, cioè una y p p ~ l , il cui gruppo generico è non speciale. La serie 

 (come la <X>) appartiene ad un sistema continuo caP- h0 ~ ) . Viceversa ogni 

 serie YtT 1 di gruppi non equivalenti è rappresentata da una <P . Si vede 

 dunque che ad ogni serie algebrica della curva C è collegala una 



corrispondenza algebrica simmetrica sulla C . Precisamente, data la , 

 od una qualunque serie del sistema continuo a cui essa appartiene, restano 

 determinate le infinite corrispondenze che, nella rappresentazione analitica, 

 presentano gli stessi moltiplicatori n M o — n hl . Quale sia il legame geome- 

 trico tra la serie ed una delle dette corrispondenze sarà visto nelle ultime 

 righe di questa Nota. 



Coi coefficienti n M formiamo la equazione caratteristica 



(34) 



7T,i -+- r ... TI 



lp 



= 



Tipi . . . TTpp -)- T 



ossia 



(35) r* 4- h r*- 1 H (- V-, r + i P — (i p = rf). 



I caratteri i h sono invarianti della corrispondenza (33) o della serie 

 , sia rispetto alle trasformazioni birazionali della curva, sia rispetto 

 ai cambiamenti dei tagli canonici sulla relativa riemanniana. Il loro si- 

 gnificato geometrico risulta chiaro, se si ricorda (') che il quadrato del 

 determinante (34) uguaglia il determinante r^ lfc || sopra considerato, 



e che quindi il polinomio (35) ne è il pfaffiano. Con ciò la (31) diviene 



(36) [0 h <PP- fc ] == h\(p — h) \ i p , h 

 e dà luogo al seguente enunciato : 



(') Ved. ad es. Rosati, Sulle valenze delle corrispondenze algebriche 

 dell'Accad. delle Scienze di Torino, voi. 53 (1917). 



in Atti 



