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Insieme ad una serie algebrica y%- 1 sopra una curva di genere p si 

 considerino le infinite serie del sistema continuo a cui essa appartiene, 

 e le serie y%~~ 2 , y p f* , ... formate, (lui .gruppi G p comuni a due, tre ... di 

 quelle serie. Il numero dei gruppi Q p che stanno in una di queste y p e 

 in h serie lineari gi p l\ è generalmente finito ed è dato dalla formola (36). 



11. Vi sono però altri caratteri più espressivi della y$ che interessa 

 conoscere; ad es. Vindice, cioè il numero dei gruppi della serie che con- 

 tengono h punti generici di C. È questo il numero delle intersezioni, 

 entro V p , di p — h varietà del sistema )£>} e di una varietà V p _ h rappre- 

 sentante i Gt p con li punti fissi; la quale V p _ h , come fu già detto (n. 9), 

 è intersezione parziale di h varietà speciali. Si tratta dunque di decidere 

 quante delle intersezioni (36) vengano assorbite dalla Wp_ 2 per cui passano 

 ora le h varietà 0. Questo difficile problema di geometria numerativa son 

 riuscito a risolvere soltanto col rendere particolare la curva C; procedimento 

 non immune da obbiezioni. Siccome però le formolo ottenute trovano con- 

 ferma in tutti i casi in cui ho potuto trattare il problema con metodi ri- 

 gorosi, credo opportuno accennare a quel procedimento e al risultato, la co- 

 noscenza del quale potrà suggerire altre vie di ricerca 



Consideriamo h — 1 varietà passanti per la W p -i, le quali si se- 

 gauo, fuori di questa, in una Vp-h+i , immagine dei G p con li — 1 punti 

 fissi , a t , ... , . La V p ^. h+1 interseca \V p - 2 lungo una varietà Wj,_ h , 

 immagine dei (ì p speciali con a { , a 2 , ... , a h ~i fissi. La stessa V p -h+i è poi 

 segata da una nuova passante per Wj,_ 2 . lungo quella W p - h e la Vj,_ ft 

 dei G 2 , con h punti fissi a x , a 2 , ... , a h -i . a h . Si ha dunque, con una scrit- 

 tura assai chiara, 



(37) [® Vft^] = W p _„ + Y p . h ; 



e la relazione vale anche se la è una varietà generica del sistema |0f, 

 purché si intenda allora che la varietà a p — h dimensioni del primo 

 membro e la varietà spezzata del secondo membro appartengono ad uno stesso 

 sistema continuo entro V p -h+i • Seghiamo ora queste due varietà (37) con 

 una stessa varietà IL, ad h dimensioni, la quale le intersechi in un numero 

 finito di punti. Avremo la uguaglianza tra numeri di intersezioni 



(38) [0 v*+> u h ] = [w p _ ft u„] + \y p . h u*] . 



Per stabilire una relazione tra i due addendi a secondo membro, par- 

 ticolarizziamo la curva C, ammettendo che essa sia iperellittica, ed indi- 

 chiamo con punti coniugati nella g\. Allora i G p speciali aventi le 

 immagini in W p - h sono gruppi che hanno come fissi i punti ai , a 2 , ••• , a^-i 

 e contengono inoltre o il punto a[, o il punto a\ , ... ', o il punto a' h _ x , o 

 una coppia generica di punti coniugati bb'. La W p - h si spezza dunque in 

 h — 1 varietà del sistema continuo a cui appartiene la Y p -h > più una 



