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dalle quali, eliminando le si ha per du : dv l'equazione determinante 



(4) \x ,x 1 , x 2 , x n du-\~x 12 dv , x 12 du-\~x 22 dv , x lu du z + 3x 112 du 2 dv^ox 122 dudv 2 + x 222 dv 3 \==0, 



che determina appunto 5 direzioni du:dv, ossia 5 tangenti, e quindi poi 5 

 iperpiani f . 



Le forinole (1) , (2) , (3) provengono, per dualità, dalle (14) , (22) , (26) 

 del n. 23 dei « Prelim 1 » . Ma esse si hanno anche subito direttamente, 

 scrivendo i punti di P prossimi a x così: 



x(a -f- du , v -\- do) = x -\- x 1 du -f- x 1 dv -\- -^(x 1 1 du 2 -\- 2x lz du dv ~\- x i2 dv 2 ) ~| — , 



e sostituendo nell'equazione dell'iperpiano f [cfr. il n. 8 di *Sup.», ove f 

 è l'attuale Se f verifica le (1), la sezione risulta con punto doppio 



in x, avendo ivi le tangenti date da (£x 11 ) da 2 -j- 2(^' 12 ) du dv -j- (fa; 22 ) (/v 2 = 0. 

 Perchè si abbia un tacnodo colla tangente du : dv occorre: che questa annulli 

 le l e derivate di quella forma quadratica, il che dà le (2); e inoltre annulli 

 la forma cubica in du , dv , che vien dopo nello sviluppo dell'equazione della 

 curva: e ciò dà la (3). 



Dirò tangenti princip ili di F in x le 5 rette nelle direzioni determi- 

 nate dalla (4), e linee principali di P quelle che sono inviluppate da tali 

 tangenti, ossia le linee integrali di quell'equazione differenziale (4). Per 

 ogni punto di P ne passeranno in generale 5. 



2. Per un'applicazione da farsi poi, converrà osservare che l'iperpiano £, 

 a sezione tacnodale, che verifica le (1),(2),(3) per una radice dw.dv 

 della (4), si può anche riguardare come un iperpiano tangente in pari tempo 

 al cono quadrico V 2 , prima nominato, relativo al punto x di F, ed all'ana- 

 logo cono Vj relativo al punto (u -j- du , v -f- dv). In fatti, il 1° cono è 

 rappresentato come inviluppo dalle (1) e: (f,x n )(f x 22 ) — (fx 12 ) 2 = . Siscri- 

 verà che f appartiene anche al 2° cono differenziando totalmente rispetto 

 a u , v queste quattro equazioni. Con ciò, dalle (1) si ottengono soltanto 

 le (2); e dall'altra [che è poi conseguenza delle (2)]: 



(ÉsL 11 ) + (&,■») — 2(£c , ')(£a;i 1 *)]flto + 

 + [(£«■■) (&?"•) -f gx»)i$x ut ) - 2(£c 1 *)(£x 1 »)]<fo = 0, 



Ora quest'equazione, applicando convenientemente le (2), si viene a trasfor- 

 mare appunto nella (3). 



3. Possiamo definire direttamente le linee principali anche così. Con- 

 sideriamo la varietà V 3 luogo degli oo 1 piani n tangenti a F nei punti x 

 di una data linea L. Se quella varietà non è sviluppabile (ordinaria), e 

 quindi tale che lungo ogni piano generatore ammetta un S 3 tangente fisso, 

 vi sarà per ogni re un iperpiano (che lo unisce al piano successivo, inci- 



