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dente a n in x) contenente gli co 1 S 3 tangenti alla V 3 nei punti di n 

 (it Prelim 1 * § 1): diciamo brevemente un iperpiano tangente alla V 3 lungo n. 

 Orbene volendo che L sia linea principale di F, questo equivarrà a dire che: 

 o la V 3 è sviluppabile; o, se no, per ciascun n l'iperpiano tangente alla V 3 

 lungo esso ha contatto quadripunto con L nel corrispondente punto x: cioè 

 ne contiene l'S 3 osculatore, e non soltanto il piano osculatore, come avver- 

 rebbe per una linea qualunque. 



Invero si pensi L rappresentata da v — v.(u). La V 3 è il luogo del piano n 

 determinato dai punti x ,x x , x z : cioè il luogo del punto x + lx x + fix 2 , 

 al variare di u,l,[i. L'S 3 tangente in quel punto ad essa è 1' S 3 del punto 

 stesso e dei suoi primi derivati, cioè x ì , x 2 , x 1 4- v' x 2 -f- X(x 11 -\- v' x 12 ) J r 

 -\- fi(x 12 -J- v'x 22 ). Esso sta, comunque si prendan l, /*, nello spazio de- 

 terminato dai punti 



(5) x, x l \ x z , x u -^v'x 12 , x ì2 + v'x* 2 . 



Questo sarà dunque, nel caso generale, l'iperpiano tangente alla V 3 lungo n . 

 D'altra parte 1' S 3 osculatore alla v — v(u) in a; è quello dei punti 

 x , x l + v'x 2 , x 11 + 2y'x 12 -f v' 2 x 22 + v" x 2 , x ììl + Su' x ìvi -f Sv' 2 x 122 + 

 -f- v' 3 x 222 -j- 3v"x 12 -\- Sv' v'x 22 -|- v"'x 2 . I primi tre di essi (che dànno 

 il piano osculatore a L) stanno già siili' iperpiano (5). Dire che vi giàcj 

 anche il 4° è come dire che vi sta x ui -|- 'So x 112 + 3y' 2 x 122 -f v' 3 x m : 

 ossia equivale a scrivere la (4). 



Se poi per ogni x di L i punti (5) stanno in un S 3 , sicché la V 3 è 

 sviluppabile, ciò viene a dire che gli elementi omologhi delle prime 5 co- 

 lonne del determinante (4) son legati da una stessa relazione lineare; e 

 quindi, senz'altro, la (4) è verificata dalla L: ossia questa è una linea 

 principale ( ] ). 



4. Quando F è una superficie sviluppabile, vale a dire un cono, oppure 

 l'insieme delle tangenti di una curva di S 5 , segue subito dalle ultime pa- 

 role dette che tutte le linee segnate su F sono principali. 



Consideriamo invece il caso che F sia una superficie non sviluppabile, 

 di quelle (studiate in «Slip.») per le quali le 6 coordinate Xi{uo) son so- 

 luzioni di una stessa equazione a derivate parziali (di Laplace): 



(6) A./: 11 + Bx 12 + Cx 22 -f Dx l -\- Ex 2 -f Fx = , 



ove A,B,... son date funzioni di u,v; e cerchiamo quali sono per essa 

 le linee principali. 



Applicando la (6) alle sei c<, moltiplicando per — ove l'iperpiano £ 



( x ) Un'altra proprietà geometrica delle 5 tangenti principali è data da E. Bompiani 

 al n. 7 della Nota « Sopra alcune estensioni dei teoremi di Meusnier e di Eulero » (Atti 

 Acc. Torino, 48, 1912-13, pag. 393).. 



