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sia uno di quelli considerati al n. 1 , — e sommando, si trae, grazie alle (1): 

 A($as") -f B(£x 12 ) -|- C(S.t") = . 



Quest'equazione, presa insieme colle (2), ammette due possibilità: 1°) è 

 nullo il determinante dei coefficienti delle tre quantità (gx 11 ) , (f x 1% ) , (£x Zì ), 

 ossia si ha 



(7) Cdu* — Bdu dv -|- Mv 2 = , 



cioè la direzione ilu:d» è quella di una delle eamlterislich della superficie 

 (« Sup:* nu. 13, 14, 15). Per ognuna di queste linee avviene che i piani 

 tangenti nei suoi punti a P formano una V 3 sviluppabile (ordinaria) ; perciò 

 (n. 3) le caratteristiche rientrano fra le linee principali. 2°) si ha: 



(8) (^") = , (£,r 12 ) = . (> 22 ) = 0, 



ossia ? è l'iperpiano (iperosculatore) che sega P in una curva con punto 

 triplo in x (*8np." n. 19) ('). Allora le (2) son verificate senz'altro, e 

 resta la (3), che dà precisamente la terna delle tangenti a quella curva nel 

 punto triplo (cfr. * Sup. ■» n. 21), E già al n. 22 di *Sitp.*, per questa 

 classe di superficie, avevo chiamato quella terna di rette la tema delle tan- 

 genti principali. 



Concludiamo dunque: la quintupla delle tangenti principali di una su- 

 perficie, non sviluppabile, di S 5 , si scompone, mi caso che la sup rficie verificili 

 un'equazione di Laplace, nella delta tema ili rette e nella coppia delle tangenti 

 alle caratteristiche (Hesdana di quella tema) ( 2 ). 



(*) Dalle sei equazioni (1) e (8) risulta che quest' iperpiano £ è ben determinato: 

 perchè, avendo escluso che F sia sviluppabile, è unica (« Sup. » n. 12) l'equazione (6) 

 verificata dalle £», e quindi la matrice quadrata d'ordine 6 delle ,r t - e dell? loro derivate 

 prime e seconde ha la caratteristica 5. 



( 3 ) Com'è già avvertito in nota al n. 23 di «Sup.», se l'equazione (6) è parabo- 

 lica, ad es° se la superficie è rigata, le lìnee principali si riducono al sistema semplice 

 delle caratteristiche (per le rigate, il sistema delle generatrici rettilinee) ed un altro 

 sistema semplice di linee. E. Bompiani (« Alcune proprietà projettivo-differenziali dei 

 sistemi di rette negl'iperspazi », Rend. Gire. mat. Palermo, toni. 37, 1914!, pag. 305: 

 v. a pag. 314) ha incontrato, fra quelle linee che egli chiama quasi-asintoticke per le 

 rigate, questo secondo sistema di linee principali (nella sua notazione sono le Y 3 -3)> rl ~ 

 tarando come la loro determinazione dipenda da un'equazione di Riccati : sicché vale un 

 teorema analogo a quello noto di P. Serret relativo alle rigate ordinarie. 



Rendiconti. 1921. Voi. XXX, 1° sem. 



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