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Matematica. — Sitila teoria degl'integrali semplici di l a specie 

 appartenenti ad una superficie algebrica. Nota II del Corrispon- 

 dente Francesco Severi. 



3. Sieno ora 



(7) tff q+l =0,...,f p = 0, 



V — !Z aggiunto ad P, d'ordine m — 3, che stacchino curve indipendenti 

 sopra un generico piano y — cost, per guisa che il sistema lineare 



(8) l q+ì \p q+l -j \-X p y p = Q 



ha la dimensione p — q — 1. 



Non si potrà però esigere, come per le aggiunte d'ordine m — 2 del 

 sistema (6) sopra costruito-, che le (7) stacchino^ — q curve indipendenti 

 sopra ogni piano y = cost. ; chè anzi, se p g ~^>0, esisterà sempre un numero 

 finito di piani y — cost. . su cui le curve suddette saranno linearmente di- 

 pendenti. Invero entro il sistema lineare V, di dimensione p -\-p a — 1» delle 

 aggiunte d'ordine m — 3, la varietà W delle superlicie spezzate in un'ag- 

 giunta d'ordine m — 4 ed in qualche piano y = cost., è di dimensione/^, 

 e quindi W ha in comurfe un numero finito di elementi con un sistema 

 lineare generico, di dimensione (p-\-p a — -1) — Pa = P — '/ — 1, apparte- 

 nente a V. / valori di y per cui accade che le curve (7) divengano linear- 

 mente dipendenti, si diranno i valori critici di y (per la stretta analogia 

 che hanno con quelli considerati da Poincaré). 



Il valori' y = co , nei riguardi di questo concetto, si tratta come ogni 

 altro valore finito di ?/, perchè la proprietà che definisce i valori critici ha 

 carattere proiettivo ('). 



Se p g ~ non esiste alcun valore critico pel sistema (8), perchè se 

 in un piano y = y le (7) dessero curve dipendenti, esisterebbe una super- 

 ficie di (8) contenente quel piano. 



( l ) Non è difficile provare che si possono scegliere le (7) in guisa che vi sia un solo 

 valor critico prefissato, p. es. y=.y (occorre all'uopo considerare le aggiunte ad P d'or- 

 dine minimo m — /*— 3 e formare con esse altrettante aggiunte linearmente indipendenti 

 d'ordine m — 3, aggregando il piano y — //„ = contato fi volte: poi considerare il mas- 

 simo numero di aggiunte linearmente indipendenti d'ordine m — fi — 2 tali che il loro 

 sistema lineare non contenga alcuna aggiunta spezzata in un piano y = cost. e in un'ag- 

 giunta d'ordine m — fi — 3, e formai'; con esse altrettante aggiunte d'ordine m — 3, aggre- 

 gando il piano y — ■ y = ( ) contato fi — 1 volte; ecc.). Naturalmente il valora y — y sarà 

 allora un valore critico m iltiplo, (Tordi io di molteplicità eguale all'ordine delle varietà W 

 (che è assimilabile ad un luogo di oo l spaisi lineari di dimensione^ — 1). 



