Osserviamo infine che il sistema (8) può esser sempre scelto in guisa 

 da evitare che uno o più prefissati valori di y(y = a , y = /? , ... ed even- 

 tualmente y = oo), in numero finito, siano critici. Basta all'uopo scegliere 

 entro V il sistema (8) in modo che non incontri i sistemi lineari oo^ _1 

 delle superficie spezzate nei piani y = « o y = /?,... e in aggiunte d'ordine 

 m — 4. Riassumendo : 



Scelte p — q aggiunte d'ordine m — 3 ad F 



(7) ^ 3+1 = 0,...,V P ==0, 



le quali seghino p — q curre indipendenti sopra un piano generico pas- 

 sante per la retta r, se p g ^>0, c'è un numero finito di piani eccezionali 

 del fascio r su cui le (7) danno curve linearmente dipendenti ; e si può 

 sempre sceglier le (7) in modo da evitare che uno o più prefissati piani 

 del fascio, in numero finito, siano eccezionali. 



4. Consideriamo ora il sistema lineare, che indicheremo con L: 



(9) x i -| [- x q (p q + (Vi Wi H h x p.%) (y — '»•) = o 



di aggiunte d'ordine m — 2, il qual sistema riducesi a: 



(9') A, g>, -| f- X q <p q -f- (X q+Ì i/Vi H h K %) = 0, 



quando sia y = oo . 



Dico che il sistema L ha la dimensione /; — 1. Infatti la (9) — - o 

 la (9') — non può ridursi a un'identità in x , y , z per valori tutti nulli delle 

 li , . . . , X q , senza che sieno contemporaneamente nulle tutte le X q+l , . . . , X p \ 

 e viceversa. Nè d'altronde può darsi che sia diversa da zero qualcuna delle X 

 del 1° gruppo e qualcuua delle X del 2° gruppo, perchè allora vi sarebbe 

 qualche superficie del sistema (6), contenente come parte il piano y — y*. 



Denotiamo con ti il sistema lineare: 



(6) /, tp ì -\ \- X q if q = 



e con K il sistema lineare : 



(10) (y — y ) (Vi </V> H h h %) = , 



che riducesi alle superficie del sistema (8), cui si aggreghi il piano improprio, 

 quando y — oo . 



E chiamiamo, come prima, va/ori critici di y rispetto al sistema L, 

 quelli per cui le curve (9) risultano linearmente dipendenti. 



E chiaro che tutti i valori critici del sistema lineare (8) sono critici 

 pel sistema lineare L ; e che inoltre L possiede come valore critico y = y 

 (o y — cn, se y = oo), perchè sul piano y — y le curve di L riduconsi 

 soltanto a q indipendenti. 



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