Orbene, dico che L non possiede altri valori critici, oltre ai nominati. 

 Infatti, se esistesse un valor critico y = a, diverso dai precedenti, si avrebbe 

 per convenienti valori >lì 0) , . . . , A^ 0> non tutti nulli dalle A , l'identità rispetto 

 ad x ,z: 



Ai 0, SPi(a>,*,*H \-lfg> q (x\a.,z) + 



+ (« — y.) (* ( % , « , *) + • • ) = , 



donde si trae : 



M 0) spi (« , y., *) H h («/ — 2/0 ) ( ^ < y » *) + ■ • ■) = (y — «) q(x-y,z), 



xp = essendo un'aggiunta d'ordine m — 3. 



Ora le Ai 01 , . . . , A* 0) non potrebbero essere tutte nulle, perchè altrimenti 

 si cadrebbe in uno dei valori critici già nominati; dunque la superficie 

 X^tp^x , y , z) + • • • -j- l ( ^q> q (x , y , 2) = del sistema 7r dovrebbe segare su 

 ogni piano y = cosi, fuori della retta r, una curva appartenente a qualche 

 superficie aggiunta d'ordine m — 3 : il che contraddice al modo con cui fu 

 scelto n. Posto: 



(11) 9)3+1 = (?/ — yo)Wi - = ?/o) ^ > 



si può enunciare che: 



II sistema lineare L a^' equazione: 



ì\ <Pi + • • • + ^5 <Pq -f" V« 9Vi + ■ • • + SPj> — , 



#0/2 possiede altri valori critici, «ll'infuori di quelli che sono critici pel 

 sistema : 



X q+i <p q+l -J- L ■ • • + l p <p p = . 



Giacché appunto i valori critici di questo sistema K sono quelli critici 

 pel sistema (8), coll'aggiunta del valore critico y = y - Se p g =0, l'unico 

 valor critico di L è y = y (0 y — 00 , se y = 00). 



5. Dalle proposizioni dimostrate nei nn. 3, 4, si deduce che se y = a 

 è un valor critico di L, si possono sostituire alle y q+l , . . . y> p , altre p — q 

 aggiunte d'ordine m — 2, linearmente indipendenti, g>' q+l , . . . , <p' p , in guisa 

 che pel nuovo sistema L': 



^1 5Pi ^ — • + KVv + K+i 9q+i + ' h ^»9>j» == 



il valore 7/ -- a non sia più critico od anche che non siano critici certi 

 valori prefissati y = a , y = fi , . . . (ivi compreso eventualmente y = 00). 

 Se a = y si ottiene senz'altro l'intento aggregando alle tpq+i , . . . , tff p il 

 piano fisso y — y x — {y x 4= Va) invece del piano y — y = 0. 



Si avrà allora == (y — y v ) if> q+1 , . . . , ift' p =(y — yi)*l> P , cioè: 



' y — y> ' y — y> 



(12) y 9+I = ■- J- 9> ?+1 9> P = — — 9p • 



y — yo y yo 



