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Il determinante di questa sostituzione lineare, che fa passare dalle g> 



alle y, riducesi a 



. Esso annullasi pel valore y = y x , che è 



critico rispetto alle <p', e diviene infinito pel valore // = ?/„, che è critico 

 rispetto alle q> . 



Se y = a , y = /?,... sono valori diversi da y , critici per L, cioè 

 pel sistema (8), in forza del n. 3, si potranno sostituire alle t/Vi , ■ • • , ty P 

 altre p — q aggiunte d'ordine m — 3 , linearmente indipendenti, ip' q+ì , . . . , </< p , 

 in guisa che y — a , y — jS , . . . non siano critici. Allora posto: 



(13) (Pq+l = (y — yo)fq+l r9t>= (?/ ~ V* > V? ' 



il nuovo sistema L' non avrà più i valori critici y = a , y ==/?,.. . 



Qual' è il legame fra le g>' e le <p , cioè fra le i// e le ip ? La curva 

 staccata dalla ip' q +i sopra un generico piano y = cost si esprime linearmente 

 mediante le sole ipq+i , • . • , ty P , appunto perchè le aggiunte d'ordine m — 3 

 staccano su quel piano un sistema OOP - ? -1 . I coefficienti di tale combina- 

 zione lineare sono univocamente determinati, perchè altrimenti per y generico 

 si avrebbe fra le xp g + ì , . . . , \p p un legame lineare. Dunque i coefficienti di 

 quella combinazione lineare sono funzioni razionali di y. Fra le xp' e le tp 

 si avrà pertanto una sostituzione lineare del tipo : , 



p-q 



(i 4) Vv* = Z a <> Vv-i (* = i , — q) , 



le fly essendo funzioni razionali di y . Se y — t] è un valore per cui il de- 

 terminante \oìj\ delle a si annulla, fra le ^ — q forme lineari (1 4), ove in 

 esse si ponga y = ^ , risulterà un legame lineare a coefficienti costanti non 

 tutti nulli. Il che significa che rj è un valor critico del sistema delle ìp' . 

 Viceversa, se rj è critico per le tp', sussisterà, per valori non tutti nulli 

 delle A (0) , un'identità, rispetto ad x,s, del tipo: 



P-q P-q 



(ove àij, yiq+j sono i valori di a.ij,xp q +j per y = rj), cioè: 



(15) y^y^^^o, 



j i 



donde si trae che o sussistono le relazioni V àijX q %i = e allora il determi- 



i 



nante delle « è nullo"; oppure fra le tp havvi il legame (15) a coefficienti 

 ©ostanti, non tutti nulli. 



Dunque gli zeri della funzione razionale \ay\ cadono nei valori di y 

 che sou critici pel sistema delle tp' senza contemporaneamente esser critici 

 pel sistema delle tp . Considerando poi la sostituzione lineare inversa della (14) 



