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si vede subito che |ay| diviene infinito soltanto nei valori di y che son cri- 

 tici pel sistema delle ip , senza esserlo pel sistema delle xp' . 



Questo risultato vale anche nel caso prima esaminato della sostituzione 



au = l — , « i? = per i^= j), perchè in tal caso i soli 



y yo 



valori critici, che non siano comuni alle xp , xp', sono appunto y , y x . 

 Ricordando le (11), (13) la (14) si scrive: 



e si conclude che: 



Se il sistema lineare L possiede i valori critici y — a , y ■== § , . . . 

 si posson sempre cangiare le q> q ^ , , . . , <p p , sostituendole con altre p — q 

 aggiunte indipendenti d'ordine m — 2 , <p' q+l , . . . , <p' p , in guisa che quei 

 valori non siano più critici pel nuovo sistema. L' : 



*i (pi H r *q9q + ^9+1 <p'<r+i + ' ■ • ~f Kv'v = • 



Le (p' q +i , . . . , (f' p son legate alle <p q +i , . . . , (f p da una sostituzione li- 

 neare del tipo (16), ove le a son funzioni razionali di y e il determi- 

 nante \aij\ delle a si annulla pei valori di y che son critici pel sistema L', 

 ma non per L ; e diviene infinito pei valori che son critici per L , ma 

 non per L'. In particolare \a,j\ presenta singolarità polari in y — a , 

 y=p... 



Osservazione l a . — 11 determinante |a !; | si riduce ad una costante 

 (non nulla) allora e solo allora che L , 1/ hanno gli stessi valori critici. 



Osservazione 2\ — Ridotte le funzioni razionali o# allo stesso mi- 

 nimo determinatore comune, che sia il polinomio a{y), le (16) potranno 

 scriversi : . 



ove le b son polinomi in y . Si può ora supporre che il sistema L abbia 

 il solo valore critico y — co , e ciò perchè si può assumere come equazione 

 di L: 



h <fiì H f l-q<Pp + ^7 + 1 + - " - + K V?> — ' 



ove il sistema delle ip abbia come solo valor critico y = co (n. 3). Allora 



\bij\, avrà il solo polo y == co e quindi a(y) 



il determinante 



bij 



a p-q\ 



dovrà ridursi ad una costante. Ne consegue che si possono scegliere 

 le (f q +i , . . . , (j p in tal guisa che per ogni scelta delle g>' q+l , . . . , <p' p i 

 coefficienti della sostituzione (16) sieno polinomi in y. 



