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una oo 2 d'iperpiani ; invece dei piani tangenti di F, il sistema 2 dei piani 

 caratteristici di quella oo 2 d'iperpiani. Al cono quadrico V 2 , dianzi nominato 

 risponderà la conica focale di un piano di 2 entro questo sistema oo 2 : tale 

 conica nel caso attuale sarà dunque, per un piano generico, irriducibile. 

 Quanto poi ai 5 iperpiani £ del n. 1, essi si trasportano in 5 punti di quella 

 conica focale, i quali, in base all'osservazione del n. 2, si potranno riguar- 

 dare come intersezioni della conica stessa con coniche focali infinitamente 

 vicine: dunque come focili di 2° ordine per 2 Così il nostro problema si 

 trasforma in questo: quando è che, non solo 5, ma tutti i punti di ogni 

 conica focale di 2 sono fochi di 2° ordine. 



Ora a tale questione risponde appunto il n. 4 della mia ultima Nota, 

 ora citata, quando lo si applichi alla projezione su un S 4 del sistema di 

 piani 2. Si vede così che 2 è l'insieme degli oo 2 piani contenenti le co- 

 niche di una superficie del 4° ordine di Veronese. Per conseguenza il sistema 

 dei piani tangenti di F , da cui 2 s'era ottenuto per dualità, sarà l'insieme 

 dei piani tangenti di una superficie di Veronese: e quindi F sarà appunto 

 una tal superficie. Otteniamo dunque il seguente risultato: 



Le sole superficie appartenenti a S 5 , per ìe quali sono indeterminate in 

 ogni punto le 5 tangenti principali, ossia per cui tutte le linee son linee prin- 

 cipali, sono le superficie sviluppabili e la F 4 di Veronese. 



7. 11 concetto di linea principiale per una superficie di S 5 si può illu- 

 strare da un nuovo punto di vista, con la seguente considerazione, che è 

 evidentemente capace di essere ulteriormente estesa. 



Precisiamo l'ordine infinitesimale di vicinanza, per due piani infinita- 

 mente prossimi, di S 5 , assumendoli in una x 1 di piani, che determiniamo 

 con 3 punti xyz funzioni di un parametro variabile t. Intenderemo cioè 

 per « ordine di vicinanza » dei piani corrispondenti ai valori t , t -f- dì del 

 parametro, l'ordine infinitesimale, rispetto a di come infinitesimo principale, 

 del determinante 



(9) | x(t) , y(i) , z(t) , x(t + di) , y(t + di) , z(t + dt) | . 



È subito visto che questo numero non muta, se sostituiamo x ,y ,z con 3 

 punti qualunque, non allineati, combinazioni lineari di quelli, a coefficienti 

 funzioni di t. 



Sviluppando x(t -\- dt), . . . secondo le potenze di dt, risulta che il 1° 

 termine nello sviluppo di quel determinante sarà in generale d! 3 moltipli- 

 cato pel determinante D = \ xy z x' y' z'\. Dunque ' in generale la vicinanza 

 di due piani successivi è del 3° ordine. — Perchè venga ad essere d'ordine 



(*) Gfr. la mia Nota precedente, alla pag. 67 di questo voi. dei Rendiconti, Sui 



fochi di 2° ordine dei sistemi infiniti di piani, e sulle curve iperspaziali con una doppia 

 infinità di piani plurisecanti. 



