superiore, dovrà annullarsi D . Supposto che ciò accada per ogni valore di f , 

 s'annullerà pure la derivata di D : la quale è precisamente il coefficiente 

 di jdi* nello sviluppo di (9). Vediamo così che se in una oo 1 di piani 

 l'ordine di vicinanza di due piani successivi generici è supcriore al 3°, esso 

 sarà almeno uguale a 5. Questo caso, dell'annullamento identico di D, av- 

 verrà (iPrelim** § 1) quando la V 3 luogo degli oo 1 piani ha lungo ogni 

 piano un S 4 (od S 3 ) tangente, cioè ogni piano ha un foco (punto d'incidenza 

 col piano successivo), sicché: o tutti i piani son tangenti ad una stessa 

 linea, luogo di quel foco; oppure passano tutti per uno stesso punto: il che 

 escluderemo, non essendovi occasione allora ad ulteriori ricerche, perchè il 

 determinante (9) riesce = . 



Siano dunque gli oo 1 piani tangenti ad una stessa linea L, il cui punto 

 variabile assumeremo per x(t) . Potremo allora prendere y in x'(t)\ e il de- 

 terminante (9), sviluppato, diventerà 



\x{t) , x'(t) , z{i) , x{t+dt) , x'(t+dt) . z(t-\-dt)\ = 



= dt* | x x' x" x'" z z' | + ^. di' j | x x' x" x iv z z' | + | x x' x" x'" zz"\\a 



12 24 ( ' 



Perchè questo risulti sempre infinitesimo d'ordine superiore al 5° dev'essere 

 identicamente 



(10) \x x x" x" zz' | = . 



Derivando, si vede che sarà nullo anche il coefficiente di di 6 ; sicché: se 

 Vordine di vicinanza è superiore a 5, esso varrà almeno 7. Ove la V 3 luogo 

 degli oo 1 piani non sia sviluppabile (ordinaria), e quindi sia determinato 

 l'iperpiano che le è tangente lungo un piano generico xx'z, — iperpiano 

 di questi punti e di x" z' , — la (10) dice che esso contenà anche x"\ cioè 

 avrà contatto quadripunto in x colla L. (Se invece la V 3 è sviluppabile, 

 ossia l'insieme dei piani osculatori di una linea, si potrà assumere z in 

 x"(t), e si riconosce subito che l'ordine di vicinanza di due piani successivi 

 sale a 9). 



In tal modo quelle varietà di oo 1 piani, che s'erano già incontrate al n. 3 

 in relazione colle linee principali di F, risultan caratterizzate sotto un nuovo 

 aspetto: in esse due piani successivi son più prossimi fra loro (ordine 7), 

 che non nel caso generale (ordine 3), e nel caso di oo 1 piani tangenti ad 

 una linea, senz' altra particolarità (ordine 5). 



Ritornando appunto al n. 3 e all'insieme dei piani tangenti di una su- 

 perficie, potremo ora dire che : menlve due piani tangenti successivi di una 

 superficie hanno in generale vicinanza del 5° ordine, se i loro punti di contatto 

 stanno su una slessa linea principale la vicinanza è del 7° ordine (almeno). 

 E il teorema finale del n. 6 si potrà anche enunciare così: Senna superficie 

 appartenente ad S 5 è tale che due piani tangenti successivi abbian sempre vici- 



