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nanza d'ordine superiore al 5°, la superficie è sviluppabile (l'ordine di vici- 

 nanza = 9), oppure è la F 4 di Veronese (l'ordine di vicinanza è infinito, 

 perchè i piani tangenti sono a due a due incidenti). 



8. Il fatto che l'ordine infinitesimale di vicinanza di due piani di S 5 

 salta da 3 a 5, da 5 a 7, da 7 a 9, rientra in una proposizione generale 

 relativa agli S ft di S 2 ft+i , con k pari. 



Introduciamo per questi S ft le coordinate di Grassmann: determinanti 

 d'ordine Te -f- 1 estratti dalla matrice delle coordinate omogenee di k -\- 1 

 punti indipendenti. Indichiamole con p r , ove r sia un numero 1,2,..., 



| ^ Tj ), con cui si rappresenti una determinata permutazione di k -j- 1 fra 



gl'indici 1 , 2 , ... , 2k -j- 2 di quelle coordinate omogenee di punti. Anzi, indi- 

 chino 1 e 2, come pure 3 e 4, e poi 5 e 6, ecc., delle permutazioni comple- 

 mentari, nel senso che, prese insieme nell'ordine indicato, costituiscano una per- 

 mutazione pari di tutti gl'indici 1 , 2 , . . . , 2k -\- 2 . Allora, nell'ipotesi fatta 

 che k sia pari, il determinante delle coordinate dei 2Zc -f- 2 punti che deter- 

 minano due S ft , p e q, si potrà scrivere come forma bilineare alternata delle 



coordinate di questi spazi : [p , q] = (p l q 2 — j? 2 -f- (p 3 q 4 — p 4 q 3 ) -| ( 1 ). 



E così il determinante analogo a (9), che serve a valutare l'ordine di vi- 

 cinanza di due S ft , viene a rappresentarsi con [p(t) , p(t -\- di)~] ; che, svi- 

 luppando p(t -\- dt) secondo le potenze di di , diventa 2 — \_p , p°] dt a (si- 



et • 



gnificando con p* la derivata d'ordine a di p r rispetto a /). L'ordine di vi- 

 cinanza sarà dato, in ciascun caso, dal primo indice a che comparirà effetti- 

 vamente in questa serie: vale a dire dal primo a tale che la [p,£>°] non 

 sia nulla. Come al n. preeed e si riconoscerà che quest'ordine è almeno uguale 



Ciò premesso, supponiamo che l'ordine di vicinanza sia m-j-l (almeno),' 

 cioè che sian nulle, identicamente rispetto a t , tutte le [p , p a ] con a <. m . 

 Dico che saran pure nulle tutte le \_p b ,p c ~\ con b -\- c <^m. Invero da 

 \_p , p a ~ l ~\ = , derivando rispetto a t, e tenendo conto che [p,p a ']=O ì 

 segue \jp' , p a ~ l ~\ = , per a <. m . Quindi anche \j> , p> a ~^ = 0; sicché, deri- 

 vando e basandosi sulla precedente, si ha [p" , ^ a_2 ] — . Così pure sarà 

 lp" , ^ a ~ 3 ] = ; e derivando, e valendosi dell'ultima, si trae : \j>"' , p a ~ i ~\ = 0. 

 E così via. 



Eissando ora che m -\- 1 sia pari = 2/n , avremo dunque : 



[p , p«] = o , O' , = , lp" , p m -*~] = , . . . , [pV- 1 , ^f*] = , 



a k + 1 . 



(*) Cfr. il principio della mia Memoria Sui complessi lineari di piani nello spazio 

 a cinque dimensioni (Annali di Matem. (3) 27, 1918, pag. 75). 



