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e derivando : 



O , 2J* +1 ] + [>' , = , [// , />'»] + h>" ,V m ^ì = , [//' . l^" 1 ] + 

 _|_ ry* ( _ o f ... [^-i , -f [pi* , pi*] = , 



donde, essendo [pf* .p"-] = 0, segue [/) , p m+l ~\ = 0; sicché l'ordine effettivo 

 di vicinanza risulta almeno m -(- 2 , e non m -(- 1 . 



Concludiamo che: m S 2 s+i , quando k è pari, Verdine infinitesimale di 

 vicinanza di due S k è sempre dispari. 



Matematica. — Sulla teoria de gl'integrali semplici di t a 

 specie appartenenti ad una superfìcie algebrica. Nota III del Cor- 

 rispondente Francesco Severi. 



6. Esposte nelle Note I, II (') le necessarie premesse di carattere pret- 

 tamente algebrico, e conservando le notazioni precedenti, poniamo 



(17) u i= = Cpf^-^dx (3 = 1,2 p), 



J f z {x ,?/ ,2) 



sicché Ui è un integrale abeliano di 1* specie sulla curva variabile 

 f(x , //,;?) = , con y parametro. Supporremo, una volta per sempre, che 

 gli assi coordinati sieno disposti genericamente, per guisa che nel fascio 

 y = cost. non vi sia che un numero finito di piani tangenti (ordinari) alla 

 superficie P. La curva segata su P , fuori della linea doppia, da f' z = 

 non ha allora nessuna parte situata in qualche piano y = cost., e quindi Ui 

 non diventa mai identicamente infinito, qualunque sia il piano y = cost. 

 che si considera. L'integrale Ui può oerò diventare di 8 a specie in corrispon- 

 denza ai valori singolari di y (valori di y che danno i piani y = cost. 

 tangenti ad P). Se y = b è uno di questi piani tangenti e ne è (a,b,e) 

 il punto di contatto, che designeremo brevemente con a , l'integrale u t re- 

 lativo alla curva f(x,b,z) = Q, avrà generalmente due punti logaritmici 

 sovrapposti, sui due rami di tale curva uscenti da a. Ma questi punti lo- 

 garitmici possono anche mancare, cioè ui può rimanere di l a specie anche 

 per y = b. Questo accade allora e solo allora che la superficie g>i(x , y , s) = 

 passi per a. 



Gli integrali Ui saranno linearmente indipendenti per ogni valore di y, 

 che non sia critico pel sistema lineare L delle </>! , <p 2 , ... , <p p : i valori critici 

 di L continueranno a chiamarsi critici anche rispetto agl'integrali m. Tra 



(') Questi Rendiconti, pag. 163 e p;tg. 204. 



