questi valori critici deve comprendersi, come sappiamo, il valore y == y se 



<fq+i=(y — y*) Vq+i , ••• , <p P = (y — yo) ty P , 



le = , ... , = essendo p — g aggiunte indipendenti d'ordine 

 m — 3 ; o il valore y =— oo , se si è preso addirittura 



(p q+j = (; .== 1 , ... ;p — q) 



Qui è opportuno notare in modo esplicito un fatto, a prima giunta pa- 

 radossale. Quando la superfìcie è regolare (q = p g — Pa = 0) si possono pren- 

 dere le (fi , ... , (f p coincidenti colle ipi , . . , ip p , ed allora sembra che non 

 vi sieno per gl'integrali Ui altri valori critici che quelli del sistema 

 Aj tp l -f- • • -4- l 9 \p p — e non il valore y = oo . Cosicché a prima vista 

 si è tratti a concludere che por una superficie regolare di genere p g = 

 gl'integrali m , scelti nel modo suddetto, non hanno alcun valore critico! 

 E ciò contraddirebbe al modo come si costruiranno poi gl'integrali semplici 

 di l a specie di F, a partire appunto da un sistema d'integrali privo di va- 

 lori critici. Ma in realtà, anche nel caso in cui le ?>i , ... , g> p , per essere 

 la superficie regolare, possono identificarsi con altrettante superficie aggiunte 

 d'ordine m — 3 , y = oo continua ad esser critico per gì' integrali Ui , come 

 quando, essendo q > 0, s'identificavano le (p q+l , ... , <p p colle ip q+ì , ... , W 

 Per convincersene si assoggetti lo spazio alla trasformazione omografica 



(18) x = ^f , y = \ , s==^t, 



y y y 



che muta il lascio y = cost. nel fascio y = cost. ed il piano y = oo nel 

 piano y' = . 



Designata con xp una qualunque delle ìp q+1 , ... , ip p (^=^0) e posto 



f{x , y , z) = g {x , y , z) -f 7i (x , y , s) -\ 



ip(x , y , z) =^\{x , y , s) + £(x , y ,z) -\ , 



ove gji.... son costituiti da tutti i termini dei gradi rispettivi m , m — 1,... 

 del polinomio /', e similmente rj , £ , ... son polinomi omogenei dei gradi ri- 



r tp ' ■ 



spettivi m — 3,ot — 4,..., si trova subito che l'integrale U== J 

 trasformasi, mediante la (18), nell'integrale di l a specie 



_ , c ■ *') + ••• dx , 



J J ^(.M^H/^^M, .') + ••• 



relativo alla curva g {x , 1 , z') -\~y'h{x' , 1 , z') -J = 0. Sul piano y' ^—0 



si ha pertanto identicamente w' = . E ciò significa che gì' integrali 



^^-^dx , (/ = 1 , ... , p — q) , ove </v /+1 = tp p = sz'e^o aggiunte 



d'ordine m — 3 ad F , si annullano identicamente per y = oo . 



