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Da ciò intanto segue che y = oo è critico anche per q — ; e questo 

 dirime l'accennato paradosso. Ponendo g>j = (y — y ) ipj , il valore y — co , 

 nel caso </ = , cessa di esser critico, ma si ha invece come valore cri- 

 tico y = y . In ogni caso si conclude che fra i valori critici degli inte- 

 grali Ut (i = 1 , ... , p) ce riè sempre uno (y = y o y — oo) per cui gl'in- 

 tegrali Uq+i , ... , u p si annullano identicamente. 



7. Fissato un valore iniziale generico y ==y, distinto dai valori sin- 

 golari, sulla riemanniana f(x , y , s) = , consideriamo un sistema di p re- 

 trosezioni A ; - , B,- (j — 1 , ... ,p). Variando y con continuità a partire da y , 

 quel sistema di retrosezioni si muta in un sistema di retrosezioni A f , B,- 

 per la curva variabile f{x ,y r,z)=0; e fiuchè (sul piano ov'è distesa la 

 variabile complessa y) si va da y ad un altro valore non singolare /, con 

 un cammino ben determinato, nessuna ambiguità è possibile nella defini- 

 zione delle retrosezioni limiti sulla curva f(x,y',z) = 0, in quanto ogni 

 punto di diramazione della riemanniana variabile tende ad una ben definita 

 posizione limite. L'esame, fatto da Picard, circa il modo di comportarsi dei 

 cicli della curva variabile f(x , y , z) = , nell'intorno di un valore singo- 

 lare di y, permette di precisare agevolmente che cosa succede quaudo y 

 circola attorno o addirittura va a coincidere con un valor singolare ('). Ma 

 per ora non ci occorre di specificar di più, bastandoci solo di avvertire che, 

 se da y si va ad un altro valore non singolare y , gl'infiniti sistemi di re- 

 trosezioni che si ottengono sulla f(x , y' , z) = 0, in corrispondenza ai sin- 

 goli cammini descritti da y, costituiscono tanti sistemi di 2p cicli primi- 

 tivi di f(x , / , z) = 0; e quindi che i cicli di uno qualunque di quei si- 

 stemi si esprimono come combinazioni lineari a coefficienti interi dei cicli 

 di uno prefissato fra essi. 



Premesso tutto ciò e supposto che il valore iniziale // = y , oltreché 

 distinto dai valori singolari, lo sia anche dai valori critici degl'integrali Ui, 

 indichiamo con <w; ; - , a>i, p +j i periodi dell'integrale Ui , relativo alla curva 

 f(x , y , s) = , lungo i cicli B,-,Aj percorsi nel verso positivo; e sieno 

 <»y i w i,p+j i periodi che derivano per continuità da quelli, quando y varia 

 a partire da y. Fiuchè y non va a coincidere con uu valore singolare o 

 critico, ha luogo la relazione riemanniana: 



v_ 



^_ («i; <»*.])+> — (*kj m.p+j) = o (t ,k=i , ... ,p) 



•=1 



( x ) I punti attorno a cui si produce una sostituzione lineare a coefficienti interi sui 

 cicli Aj , Bj sono soltanto i valori singolari (Picard). Veramente a priori potrebbe sem- 

 brare che analogo fatto si producesse in corrispondenza ai punti di contatto delle tan- 

 genti tripunte di V parallele all'asse z, in quanto anche in ciascuno di essi coincidono 

 due punti di diramazione della superficie di Biemann variabile f(x , y -, s) = . Ma un 

 tal dubbio si rimuove subito, osservando che quei punti cessano d'essere di diramazione 

 se, invece di x, si prende come variabile indipendente z. 



