— 234 — 



e la diseguagliauza fondamentale 



s. 



(19) y_ ( w • a>p +j — uìj + , ) > , 

 ove 



w i = + w 7 |/ — 1 , = °>v+j + w 'p+j ^— 1 



sieno i periodi, lungo i cieli Bj , A,-, d'una qualsiasi combinazione lineare u, 

 a coefficienti interi non tutti nulli, degl'integrali Ui. Tutto ciò perchè la 

 curva variabile f{x , y , s) = non s'abbassa di genere, le A,- , B,- non cessan 

 di essere su essa retrosezioni e gl'integrali Ui non cessano d'esser su di 

 essa linearmente indipendenti. 



Immaginiamo ora il corpo Sì di funzioni abeliane relative alla tabella 

 dei periodi &» lft (i = ì , ... , p ; h = 1 , ... , 2p) , i quali son funzioni olomorfe 

 di y nell'intorno di ogni valore non singolare. Per un teorema classico ( 1 ), 

 queste funzioni abeliane si esprimono razionalmente mediante le funzioni 

 relative alla tabella 



1 ... ì»n .... Qi p 



(Qik = Qki) , 



... 1 Q pì ... Qpp 



ove le q son definite dalle 



(20) 00i. p+j = ^_ W ih (i , j = 1 , ... , p) , 



e gli argomenti w x , ... , w p delle son legati agli argomenti «! , ... , v p di ■ 

 quel corpo di funzioni abeliane, dalle relazioni 



(21) vi = ^_ ft> f ft w h {i — 1 , ... ,p) ( 2 j. 



A-=l 



Za condizione di convergenza delle suddette serie [che si può espri- 

 mere mediante la diseguagliauza (19)] ' 3 ), resta sempre soddisfatta qua- 

 lunque sia y , purché diverso dai valori critici e singolari. La forma delle 

 relazioni (20) , (21) , che definiscono le q ,w , considerata insieme al fatto 

 classico che il determinante delle ft»^ non è nullo pei valori considerati 

 di y (perchè altrimenti gl'integrali Ui sarebbero dipendenti), ci assicura che 

 le 0, nel campo di variabilità considerato per y, restano sempre finite. 



Consideriamo adesso le funzioni del corpo fi quali funzioni sia degli 

 argomenti v x , ... , o p , come di y (attraverso ai periodi co) . Nel parallelepi- 



Cj ICrazer, Lehrbuch der Thetafuulctiunen (Leipzig-, Teubner, 1903), pag. 127. 

 ('-) Krazer, loc. cit., pag. 123. 

 ( 3 ) Krazer, loc. cit., pag. 124. 



