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Matematica. — Sulle varietà a tre dimensioni e di quart 'or- 

 dine che son luoghi di almeno o° 2 rette. Nota I di Eugenio 

 G. Togliatti, presentata dal Socio C. Segre (*). 



1. La dimensione dello spazio normale d'una V* irriducibile è <. 6 (*); 

 ed è noto che una V3 di S 6 , che non sia un cono proiettante da un punto 

 una superficie di Veronese, contiene una serie razionale oo 1 di piani ( 2 ) ; 

 escluso clie V| sia un cono, quegli 00 1 piani uniscono terne di punti omo- 

 loghi di due rette a, b e d'una conica c, riferite proiettivamente ( 3 ). 



Tale V£ contiene oo 3 rette Viceversa, se per un punto generico P di 

 una V3 irriducibile, che non sia un cono, passano infinite rette della V 3 ( 4 ), 

 questa contiene 00 1 piani ( 5 ), costituenti una serie razionale (perchè un iper- 

 piano generico contenente uno di essi sega ancora V* in una F 3 rigata non 

 cono), dimodoché la V* coincide con la precedente con una sua proie- 

 zione ( 3 ). 



La proiezione W* della V^ di S« anzidetta da una retta generica r 

 dell'Sg sopra un S«. <r, ha come superficie doppia una rigata cubica nor- 

 male F ( tì ): infatti, un S 4 proiettante generico sega V3 in una G 4 razionale 

 normale che ha tre corde incidenti ad r. Si vede poi subito che TS 5 proiet- 

 tante r ab contiene due piani v di V*, e perciò contiene un S 3 proiet- 

 tante (intersezione degli S 4 : r(i,rv) che sega fi , v in due rette m, n, e 

 la cui traccia d su e è quindi una retta doppia di W*, anzi proprio la di- 

 rettrice rettilinea di F, perchè le oo 1 coniche di V* passanti per le sin- 



(*) Presentata nella seduta del 16 gennaio 1921. 



( 1 ) V. ad es. Bertini, Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazi, Pisa 

 (1907), Gap. 9°, n. 6. 



( 2 ) V. ad es. Bertini, loc. cit., Cap. 14°, n. 10. 



( 3 ) Segre, Sulle varietà normali a tre dimensioni composte di serie semplici ra- 

 zionali di piani, Atti Acc. Torino, 21 (1885-1886), pp. 95-115. Questa stessa V* trovasi 

 in: G. C. Young, Sulla varietà razionale normale M 3 di S 6 rappresentante della trigo- 

 nometria sferica, id., 34 (1898-1899), pp. 587-596. 



( 4 ) Anzi od 1 , se no la V 3 conterrebbe 1' S 3 che la tocca in P. 



( s ) Severi, Intorno ai punti doppi impropri di una superficie generale dello spazio 

 a quattro dimensioni, e a' suoi punti tripli apparenti. Rendiconti Palermo, 15 (1901), 

 pp. 33-51, n, 10. 



(*) Aprile, Sulla varietà, deWSi, del quarto ordine, con rigata cubica normale 

 doppia, Atti Acc. Gioenia, (5) 7, (1914), Mem. XXII, pp. 1-21. 



