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risulta tangente a V* lungo g, oppure possono coincidere tutti in uno stesso 

 S 3 tangente a V| lungo g ( u ). Siano: a un piano generico contenente g, 

 y la cubica piana intersezione ulteriore di a con , ed A , B , C i punti 

 comuni a g e y. Nel 1° caso, due di questi punti, ad es. A , B , son punti 

 di contatto di a con V|, e C è punto doppio di V3; il luogo di C, non 

 potendo essere una linea direttrice di V3 ( 14 ), sarà un piano n, doppio 

 per V3, unisecante le generatrici di V3 (nn. 1 e 2). 



Viceversa, una V* di S 4 con piano doppio n ( 15 ) è rigata, perchè luogo 

 di oo 1 quadriche a due dimensioni situate negli S 3 passanti per re, e non 

 ammette, in generale, degli spazi tangenti fissi lungo ogni generatrice. 



4. Se invece V* ammette lungo g un piano tangente fisso, uno solo dei 

 punti A,B,C, ad es. A, è punto di contatto di a con V3, mentre B,C 

 sono multipli per V3. 



d) Se B,C sono distinti, e perciò doppi per V 3 , essi non possono 

 descrivere entrambi una superficie, doppia per V3, perchè questa verrebbe 

 di ordine > 1 ; nè possono descrivere due linee direttrici di V3 (0 un'unica 

 direttrice bisecante le generatrici di V*), se no V 4 avrebbe lungo g un S 3 

 tangente fisso ( 14 ); perciò B, ad es., descrive un piano doppio ti, e C de- 

 scrive una linea doppia irriducibile L, unisecante le generatrici di V^la 

 quale sarà quindi un caso speciale di quella del n. 3. Un S 3 generico con- 

 tenente n sega ancora V* in una quadrica irriducibile che ha su ogni ge- 

 neratrice un punto doppio di V 4 , non situato su tc , e che perciò è un cono 

 col vertice su L. Cioè L è luogo dei vertici di detti coni, ed è incontrata 

 in un sol punto variabile dagli S 3 contenenti ti; perciò L non può essere 

 di ordine si 5, se no un S 3 generico taglierebbe V3 in una F 4 avente una 

 retta doppia e, fuori di questa, almeno 5 punti doppi, tra i quali almeno 

 due dovrebbero stare su una retta incidente a ti ( I6 ), e quindi anche in 

 un S 3 , certo variabile, contenente n. Se poi L sta in un piano, segante n 

 in un punto solo, essa è di ordine <. 3, perchè una retta generica del suo 

 piano, essendo sghemba con 7r, sarebbe doppia per V 3 se ne contenesse più 

 di tre punti doppi. Dunque L può essere: una retta sghemba con n\ una 

 conica incidente a ti ; una C 3 piana con un punto doppio su tc ; una C 3 

 sghemba con due punti (distinti 110) su n ; una C 4 di 2* specie, di un S 3 , 

 con tre punti allineati (distinti no) su n; una C 4 razionale normale con 

 tre punti (distinti no) su n. 



( M ) Segre, Preliminari dì una teoria delle varietà luoghi di spazi, Rend. Pa- 

 lermo, 30 (1910 2 ), pp. 87-121, nn. 9, 12 e § 5, 6. 



( ,5 ) Marletta, Sulle varietà del quarto ordine con piano doppio dello spazio a 

 quattro dimensioni, Giorn. di Matem., 40 (1902), pp. 265-274, 41 (1903), pp. 47-61 e 113-128. 



( l0 ) Salmon-Fiedler, Analytische Geometrie des Raumes, II Theil, 3 Aufl., 1880, 

 n. 337 a p. 445. V. anche Marletta, loc. cit. nella nota ( ,5 ), n. 54; in quest'ultimo lavoro 

 (nn. 51, 52, 53) si trovano gran parte delle Vs qui determinate. 



