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Scegliendo convenientemente in S 4 un sistema di coordinate proiettive 

 omogenee x<>X\ x 2 x?, x 4 , è ovvio scrivere l'equazione di V3 nei primi tre 

 casi. Nel 4° e nel 6° caso, nelle ipotesi più generali, l'equazione di V3 si 

 ha uguagliando a zero una forma quadratica generica delle forme: x 2 x 3 , 

 Xt x 4 , x\ — x x 4 , x\ — X1X3, rispett. delle forme : x 3 «ì°(a; %i x 2 x s x 4 ) -f- 

 + x 4 Pi\x Xi x 2 x 3 x 4 ) per 2 = 0,1,2 ( l7 ). Nel 5° caso l'equazione di V3 

 si può scrivere: 



xig>t(x 3 x t ) + Xìip^XzXi) f-\-x 2 g -f- f* = 0, 

 con : / = x 3 «i( x x x x 2 x 3 x 4 ) + x * Pi( x o %i ®s x * **) '■> 



g = xl[i{x .. ) -f- cc 3 z 4 v(x ..,) + xlnixo...). 



b) In secondo luogo, se i punti B , C coincidono in un punto doppio 

 per y e triplo per , essi descrivono una linea tripla irriducibile di V3, L, 

 unisecante le generatrici, e che può esser solo una retta, od una conica: 

 x 3 = x 4 = <p 2 (x x x x s ) = ( 18 ). Nel 2° caso l'equazione di V* si può scrivere : 



3 



(fì{X x 1 x 2 ) ip 2 {x 3 x 4 ) + «i°( ;:( 'o ®\ %2 3*3 x 4 ) xl~ l x 4 = , 



(=0 



e mostra che il piano della conica è doppio per V3. Se la conica si spezza 

 in due rette distinte, la V* è caso speciale di entrambe le precedenti e 

 contiene due sistemi di rette: la conica tripla può anche ridursi ad una 

 retta da contar due volte ( 19 ). 



( 17 ) Indicheremo con «, £ , qp ,«/>,. .. forme algebriche delle variabili indicate e dei 

 gradi espressi dai loro indici. Non ci fermiamo sui casi speciali in cui V3 acquista ge- 

 neratrici doppie punti doppi isolati. 



( 18 ) Perchè se L non fosse piana, il piano di tre suoi punti generici starebbe su V3 ; 

 e se L, di ordine J> 3, stesse in un piano n , un piano contenente una retta s di n 

 segherebbe V3 lungo s contata almeno 3 volte, cioè n sarebbe almeno triplo per V3 . 



( 19 ) Un caso speciale in Fano, loc. cit. nella nota ( 8 ), n. 12. 



