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Geometria. — Sulla teoria proiettiva delle congruenze W . 

 Nota del Corrispoudeiite Guido Fubini ( j >. 



1. Recentemente il sig. Jonas Del tomo 29 degli Jahresber. d. d. math. 

 Gesell. (1920) ha paragonato le teorie metriche delle congruenze W, dando 

 alcune notevoli forinole. Però le equazioni fondamentali, da cui egli parte, 

 sono già state date da me in una mia Memoria del tomo 43 del Circolo 

 Matem. di Palermo (1918-19). Nella via indicata in questo mio lavoro si 

 potrebbero anche studiare le relazioni tra le due falde focali; le forinole 

 risultano però complicate. È merito grande dello Jonas l'avere osservato 

 che tutte le forinole si semplificano introducendo una sola funzione A. Tale 

 funzione, che lo Jonas introduce per via metrica, ha però, come proveremo, 

 significato 'proiettivo. Per tali ragioni riprendo qui lo studio proiettivo di 

 una congruenza W di data prima falda focale (problema proiettivo, che di 

 solito si studia per via metrica), partendo dalle mie equazioni fondamen- 

 tali, e ricorrendo per il resto del calcolo alla funzione A dello Jonas, e for- 

 inole relative. Resterà così ben chiaro anche il legame con le teorie metriche 

 usuali delle congruenze W. 



2. Siano u,v assintotiche d'una superficie S; sia 2D' du dv la seconda 

 forma di Gauss, ed Edu* -f- 2F du dv -f- & dv 2 l'elemento lineare metrico, 

 rispetto al quale calcoleremo i simboli di ChristoiTel. La superficie è deter- 

 minata a meno di una collineazione dagli invarianti proiettivi 



P — \ 2 ) ' Y ~(l) ' L— "" _ 2 U ~P 

 M = d vv — ±dl—y lt — yd u 



ove 



e = log (j/ir 1/EG — F 2 ) + cost. , 6„ = jYj 



Con x indicheremo una qualsiasi delle quattro quantità x , y , s , 1 , 

 essendo le prime tre le solite coordinate cartesiane ortogonali. Con x indi- 

 chiamo le quantità che se ne deducono, moltiplicando le x per |//?ye _9 . 

 Le x sono le coordinate proiettive dormali, le quali, per ogni collineazione, 

 subiscono soltanto una trasformazione lineare a coefficienti costanti (senza 

 alcun fattore di proporzionalità, che potrebbe essere funzione delle u , v). 



Con t indicheremo infine coordinate omogenee qualsiasi. Se S è prima 

 falda focale di una congruenza, da ogni suo punto esce una retta della con- 



( l ) Presentata nella seduta del 17 aprile 1921. 



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