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gruenza, i cui punti avranno coordinate omogenee del tipo 



(1) l l = fJux + 2(Ax u + Bx v ). 



Affinchè la congruenza sia W e questo punto descriva la seconda 

 falda focale Si , nella mia Memoria cit. è dimostrato che si deve poter sce- 

 gliere il fattore di proporzionalità delle t in guisa che 



(2) A„ = — By ; B M = — A/?; 



,3, - = -B.-A.-B^^^. 



Le prime due sono appunto le stesse equazioni ritrovate più tardi dallo 

 Jonas; dalla terza si deduce l'equazione analoga dello Jonas, passando a 

 coordinate cartesiane. Posto x = |//?ye~ e x , si trova infatti 



t x = f §ye-* [(— B„ — A„ — A6 U — B0„) x -f 2A x u + 2B x v ~\ . 



Ricordando che l'ultima delle x vale 1 , e dividendo per l'ultima delle t , 



per ottenere coordinate cartesiane x x del punto della seconda falda focale S, , 

 si trova 



\ , Ax„ — {- BX K 



(l)&is X x =X-\ , 



ove 



(3) te R = — \ ( B,. -f A„ + AB H + B0 r ) 



che è appunto la formola di Jonas (il quale indica con a , — b le nostre 

 A , B). Date le L , M , cioè data la superficie a meno di una collineazione, 

 si hanno due equazioni per determinare la 6, le quali sono integrabili 

 Per ogni valore di 6 si ha dalla (3) Ms una soluzione R della 



R«* = (0 w +/Sy) R. 



Questa è l'equazione che si presenta nelle classiche trattazioni metriche 

 delle congruenze W; ed ecco così trovato il legame tra esse e lo studio 

 puramente proiettivo. Lo studio della seconda falda focale si potrebbe, come 

 è detto nella mia Memoria cit., proseguire direttamente partendo dalle (1). 

 Ma qui la idea elegantissima dello Jonas semplifica grandemente i calcoli ; 

 egli ha posto 



A = AR„ - Bli, + \ (A„ + AO H y - l (B„ + B8 c y 



(') Le condizioni di integrabilità sono soddisfatte in conseguenza delle relazioni, 

 che legano /3 , y , L , M : 



L e =V (2fr>„ -f [1^) ; M„ = - (2y& -f y v p) ; 

 jJ M„ -f 2M/J„ -I- p ttU0 = yL u + 2L y u -f y uuu . 



