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che, in virtù di (3) Ws , diventa 



(4) A — — ^ A 2 L -J- | B 2 M -fr ^ (bB„ u - \ B 2 ) - \ (aA mu - \ A 2 ) . 



La ^ non dipende da tì , ma soltanto da L , M ; dunque A ha carat- 

 tere proiettivo; essa soddisfa all'equazione 



(5) A m . + | Y A, -t |- /S ^„ = . 



Partendo dalle formole di Jonas, o direttamente, si prova che le quan- 

 tità /?!,/!, Li , M, della seconda falda focale sono date dalle 



ed analoghe per y, , M x . Si potrebbero anche trovare le coordinate proiet- 

 tive normali della seconda falda focale che si ottengono dalle carte- 

 siane x v moltiplicandole per /i e -9 ' . Si trova che esse sono 



(1W = |/^ ~ f, = j/^ ~ (/* al + 2A *„ + 2B x v ) . 



Il sig. Jonas ha continuato lo studio per il teorema di permutabilità. 



Dette Ai , B, , A x le quantità finora indicate con A , B , A , e dette 

 Ai , Bi , A % le quantità analoghe per una seconda congruenza W, di cui S 

 è la prima falda focale, ed un'altra superficie S 2 è la seconda, il teorema 

 di Bianchi ci accerta che S! ed 8 2 sono trasformate per congruenze W di 

 oo 1 superfìcie S' (una delle quali è S). Se per es. AI e B[ sono i valori 

 di A , B relativi alla congruenza W di cui S, è la prima falda focale, e 

 una tale S' è la seconda, le forinole di Jonas, spogliate di quanto ha ca- 

 rattere metrico, dicono che 



(7) ^(a; + a 2 ) = -^(b;-b 2 ), 



e che, detto a> il valore comune di questi rapporti, si ha, indicate con A„ , A r 

 le derivate di A x : 



(8) u> u = — A H , w v = A v . 



Perciò co è determinato a meno di una costante additiva ; ciò che corrisponde 

 appunto al fatto che le S' dipendono da una costante arbitraria, ossia 

 sono oo', come afferma il teorema di permutabilità di Bianchi . 



Si vede così quanta semplicità dia alla teoria proiettiva delle con- 

 gruenze W l'introduzione delle funzioni A , B da me fatta nella Memoria 

 cit., e della funzione A dello Jonas. 



Rendiconti. 1921, Voi. XXX, 1° Sem. 35 



