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La ricerca di una congruenza W di data prima falda focale è ridotta 

 all'integrazione di (2). Le (1) o od (l) lar dànno poi in coordinate omo- 



genee, o cartesiane, o normali i punti della seconda falda focale; gli inva- 

 rianti proiettivi, e quindi anche le forme fondamentali di questa sono dati 

 dalle (6) ; le forinole del teorema di reciprocità del Bianchi dalle (7), (8). 



Queste forinole si troverebbero, senza bisogno di ricorrere ad alcun ar- 

 tifìcio, seguendo il metodo da me indicato nella Memoria cit. Lo spazio mi 

 vieta sia di iniziare un tale calcolo, sia di vedere come esso si dovrebbe 

 modificare nel caso di falda focale rigata (cioè @ = , oppure y — 0). 



Matematica. — Sulla teoria degl'integrali semplici di l a specie 

 appartenenti ad una superficie algebrica. Nota IV del Corrispon- 

 dente Francesco Severi. 



8. Fissiamo ora in uno P dei punti base (impropri) del fascio y = cost. 

 la comune origine dei cammini d'integrazione per gl'integrali ui , conside- 

 rati come integrali abeliani della curva f(x,y,s) = 0, con y parametro. 

 Indicati allora con x x (x x , y , z x ) , ... , x p (x p , y , z p ) p punti della curva 

 f{x ,?/,*) = per y generico, le equazioni 



(22) Ui (xi) -j \- Ui (x p ) = d (modd. periodi o>) , 



ove le Ci sieno costanti arbitrarie ed i cammini d'integrazione che vanno 

 allo stesso punto Xj sono i medesimi per tutti gl'integrali Ui , in base al 

 teorema d'inversione di Jacobi, saranno soddisfatte da un gruppo ben deter- 

 minato di p punti della sezione stessa. Il luogo di questi gruppi di p punti 

 è una curva G, la quale può a priori risultare trascendente, perchè può 

 passare infinite volte per qualcuno dei punti base del fascio y = cost. Per 

 cercare le condizioni di algebricità della curva C sostituiremo anzitutto ad 

 essa una curva C costruita nel modo seguente: 



Sia Mp+, la varietà algebrica, a. p l dimensioni, i cui punti rappre- 

 sentano le serie lineari complete d'ordine p appartenenti alle oo 1 curve 

 y — cost. Essa contiene un fascio lineare di varietà N p , ciascuna delle quali 

 rappresenta le g p complete appartenenti ad una sezione f(x, y , z) = di F. 

 Alla curva C corrisponde su M^+i una curva C secante in un sol punto va- 

 riabile le Np. 



La sostituzione della curva C alla C si presenta opportuna per ciò che, 

 pur essendo le costanti e, del tutto generiche, così che il gruppo dei p punti 

 da esse individuato sulla generica curva [{a; ,y,z)=0 non è speciale (cioè 

 forma una g% completa), tuttavia accadrà che in corrispondenza ad un in- 

 sieme finito, o comunque discreto, di sezioni // = cost., le costanti Ci po- 



