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tranno diventare le costanti caratteristiche di un gruppo speciale di p 

 punti. In corrispondenza ad ogni tal sezione le equazioni (22) son soddi- 

 sfatte da almeno oo 1 gruppi di p punti appartenenti ad una ;/ p completa di 

 dimensione >. 1 ; e perciò il gruppo dei p punti di C apparisce a priori 

 indeterminato. Questa indeterminazione sparisce senz'altro, allorché si con- 

 sidera la C in luogo della C. 



È chiaro che C risulterà algebrica insieme a C"; sicché noi potremo 

 studiare le condizioni di algebricità di C. 



La Mp+i può supporsi immersa in uno spazio lineare S r (r 2): 

 una qualunque, £, delle coordinate del punto X variabile su C, risulta fun- 

 zione uniforme di y ; e si tratterà di cercare le condizioni perchè £ (y) sia 

 algebrica, cioè razionale. La £(//) (che è una funzione razionale delle fun- 

 zioni intere simmetriche delle coordinate dei/? punti Xi,....,x p ), risulta 

 una funzione abeliana, appartenente al corpo Si, dei parametri Ci,...,c p - 

 Essa pertanto non può che essere olomorfa o presentare al più singolarità 

 polari per ogni valore di y non singolare nè critico (n. prec). 



Esaminiamo che cosa accade in corrispondenza ad un valore singolare 

 y = b, premettendo che, per una conveniente scelta degl'integrali Ui (defi- 

 niti sempre come al n. 6) esso può supporsi distinto dai valori critici (n. 5). 

 Anzitutto occorrerà chiarire come deve definirsi la varietà N p sulla sezione 

 f(x , b , s) = , perchè questa sezione ha il genere p — 1, avendo acqui- 

 stato il punto doppio a (a ,b ,c). 



Il limite della varietà dei gruppi di p punti della f(x ,y ,s)==Ò, 

 quando y tenie a b , è la varietà dei gruppi di p punti di f(x , b , g) = . 

 E un gruppo speciale della sezione variabile ha per limite un gruppo della 

 f(x , b , g) == , il quale giace sopra una curva d'ordine m — 3 passante 

 pei d nodi di f{x , b , s) = , che son limiti dei nodi di f(x ,y,s) = 

 variabili sulla linea doppia di P e non pel nuovo nodo a (curva virtual- 

 mente aggiunta, rispetto a quei d nodi) ('). Orbene su f(x,b,s) = la 

 N p è la varietà i cui punti rappresentane le serie g p virtualmente complete 

 rispetto a quei d nodi assegnati ( 2 ). 



(') Ved. le mie Vorle&ungen uher algebraische Geometrie (Leipzig, Teubner, 1921), 

 pag. 349. 



( 2 ) Ibidem, pag. 350. Sopra una curva con un certo numero dei suoi nodi assegnati 

 (considerandosi gli altri virtualmente inesistenti) si può costruire una teoria degli inte- 

 grali abeliani, che presenta varie analogie coll'ordinaria teoria. Avrò occasione di occu- 

 parmene altra volta e di mostrare come quella teoria si riattacela alle proprietà delle 

 funzioni abeliane degeneri. Qui mi basterà di enunciare, pel seguito, la seguente esten- 

 sione del teorema d'inversione di Jacobi : Sia f(x , y) = una curva algebrica irriduci- 

 bile, d'ordine m e genere effettivo ti, dotata di d-\-e nodi, dei quali ? > 1 si conside- 

 rino inesistenti, sicché f risulti di genere virtuale p = n -\- e ; e sieno (jp, = , ... , q) p '== 

 p curve indipendenti, d'ordine m — 3, virtualmente aggiunte, rispetto ai d nodi assegnati. 



Consideriamo gl'integrali abeliani di 3* (ed in particolare di l a ) specie Ui = I dx , 



y f'% 



