L'estensione del teorema d'inversione enunciata nella nota a pie' di pa- 

 gina, tenendo presente che gl'integrali Ui sono indipendenti anche per y — b 

 (b non è un valor critico), permette senz'altro di concludere che anche sul 

 piano y = b la curva C ha un gruppo hen determinato di p punti e che 

 quindi, se £ (//) è finita per y = b , essa è olomorfa. 



Esaminiamo il caso in cui %{y) diventa infinita per y — b. Essendo 



essa eguale ad un quoziente del tipo — , ove r] , £ son funzioni intere delle 



funzioni simmetriche elementari dei p punti x x , ... , x p , finché il gruppo 

 dei p punti è determinato, la £ non può diventare infinita che quando f si 

 annulla o quando rj diviene infinita (per il che occorre che qualcuno dei 



t 



punti Xi , ... , x p divenga improprio). In ambedue i casi la funzione — , 

 che è continua e uniforme nell'intorno di y — b, si annulla ivi. Ciò si- 

 gnifica che \ è olomorfa in y = b e quindi che £ è meromorfa ivi. 



I soli valori che dobbiamo ancora esaminare sono i valori critici. In 

 corrispondenza ad uno y = a (o eventualmente y = pò) di essi, gl'inte- 

 grali u q +i , ... . u p divengono dipendenti, sicché sulla corrispondente sezione 

 f{x ,a,g)==sQ le equazioni (22) non definiscono un gruppo determinato 

 di p punti. Ma c'è di più. Poiché fra i valori critici ce n'è sempre uno in 

 corrispondenza al quale gl'integrali u q+t , ... , u p si annullano identicamente 

 (n. 6), se le costanti <? ?M c p furono assunte non tutte nulle, in corri- 

 spondenza a questo valore critico si presenta una vera e propria disconti- 

 nuità, giacché le ultime p — q somme (22) passano bruscamente da valori 

 costanti non tutti nulli a valori nulli! Dunque: 



La condizione necessaria affinchè la curva analitica C sia algebrica 

 è che per le costanti c l/+l , ... ,c p si assumano valori tutti nulli. Prove- 

 remo ora che tale condizione à anche sufficiente, e ne trarremo le conse- 

 guenze preannunciate. 



Invero, se y = a è un valore critico, agi' integrali U\ , ... , Uq , Uq+\ , 

 ... , u p si possono sostituire gl'integrali analoghi' w, , ... , u q , u' q+ì ,...,Up, 

 in guisa che y = a non sia più critico rispetto al nuovo sistema d' integrali 

 (n. 5). Però il determinante A della sostituzione lineare a coefficienti ra- 

 zionali in y 



p-q 



u'q+i = y aij u q +j , (i = 1 , ... , p — q) , 



e, scelta una comune origine delle integrazioni, si scrivano le equazioni Ui(Xi)-\ — • -f- 

 + Ui(x p )^Ci (mòdd, periodi ciclici e polari), ove X,,...,;V P sieno p punti variabili 

 sulla f e C{ costanti. Le suddette equazioni, per valori generici delle c<, son soddisfatte 

 da un sol gruppo di p punti. Un'indeterminazione è possibile soltanto quando le c< sieno 

 le costanti caratteristiche di un gruppo virtualmente speciale. 



