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che lega u q + y , ... , u' p agl'integrali « g+1 , ... , u p , diventa infinito per y = a, 



e il determinante ~r della sostituzione lineare inversa 

 A 



V>q\.i == ~ Ajj Uq+j , 



si annulla per y = a . 



Indicata con c' q+ j la somma dei valori di u'q+j nei p punti X\ 

 ove i cammini d'integrazione sieno i medesimi lungo cui si calcolavano gli 

 integrali u% , si hanno le relazioni : 



Cq+i ^ &ij Cq+j , Cq+i ^ Ajf tfg-i-j 



valide in tutto l'intorno di y = a, salvo, eventualmente, in y=a. Ma, 

 se le £ 9+1 , ... , tfj, son tutte nulle, le precedenti relazioni ci dicono che le 

 Cq-t-i , ... , c' p sono pure tutte nulle, qualunque sia y; e viceversa, se sono 

 nulle queste, risultano nulle quelle. Ciò significa che i p punti soddisfacenti 

 alle p equazioni: 



w,(£Ci) H -\-Ui{x p ) = (i . = 1 , ... ., q) , 



U q +j(Xi) -) 1- U q +j(X p ) = , (/ = 1 , ... , , 



coincidono per ogni coi punti soddisfacenti alle equazioni: 



MiO. ) H h «i(*p) = , (?' = 1 , ... , q) , 



' u'q+ÀXi) -\ f- u q +j(x p ) = , (y = 1 , ... ,|> — q) , 



e quindi la curva definita da queste ultime, al variare di y, coincide con 

 quella definita dalle prime. 



La curva C, imagine di C sulla varietà M p>1 (n. 8), può pertanto 

 definirsi pure mediante le funzioni abeliane corrispondenti ai periodi degli 

 integrali u x , ... , u q , u'q+i , .., , u' p ; e poiché per questi integrali y = a non 

 è critico (nè singolare), così una qualunque f delle coordinate del punto X 

 variabile su C risulta funzione olomorfa o meromorfa di y, anche per y=a. 



In conclusione £ possiede in tutto il campo di variabilità di y sole 

 singolarità polari, epperciò è una funzione razionale ; e la curva C, cioè C, 

 risulta algebrica ; c. d. d. 



Osservazione l a . — Poiché le p costanti, con cui si definisce la 

 curva C, non sono tutte arbitrarie (le prime q soltanto lo sono), così può 

 darsi che per ogni sezione f[x ,//,*) = un gruppo generico di valori 

 (Ci , ... , c q , , ... , 0) dolìe solite p somme, corrisponda ad un gruppo spe- 

 ciale di p punti. In tal caso le (23) non definiscono più, neanche per y gene- 

 rico, un gruppo di p punti, ma tutta una serie lineare infinita (completa). 

 Sia ó la dimensione di questa serie, per y generico. Si potrà allora deter- 

 minare un intero eF'(> ó) tale che vi sia un sol gruppo della serie stessa, 



