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Un sistemo continuo completo, tracciato su F, la cui curva generica 

 sia irriducibile e soddisfaccia coi suoi caratteri n , n , i alla disegua- 

 glianza n — n -f- p a -\- 1 — i>.0, ha la serie caratteristica completa. 



È questo, come si sa, un importante teorema dovuto ad Enriques, il 

 quale lo ha dato direttamente, prescindendo dalla diseguaglianza supposta 

 sopra ( 1 ). 



Dal teorema ultimamente enunciato si deduce, come facemmo per vie 

 diverse, Castelnuovo ed io, che il numero degli integrali semplici di l a specie 

 di F non è inferiore a q, donde poi, combinando coi risultati ch' io aveva 

 in precedenza conseguiti, traemmo la conclusione che il numero degl'inte- 

 grali semplici di l a specie appartenenti ad F è q e che 2q è il numero 



(M A tale diseguaglianza si può sostituire l'ipotesi che il sistema continuo jC| 

 consti di coi sistemi lineari. Col nostro procedimento la validità del teorema concernente 

 la completezza della serie caratteristica d'un sistema completo resta pertanto dubbia 

 solo nel caso in cui jC| consti di oo''' sistemi lineari (0 .< q'<i_ q). Sistemi continui 

 siffatti possono esistere (per q'^> 0) soltanto quando F possegga sistemi regolari d'inte- 

 grali riducibili; il che non accade in generale. Questo ho creduto opportuno d'avvertire 

 innanzi d'accennare ad un punto del procedimento geometrico con cui si dimostra la com- 

 pletezza della serie caratteristica, che abbisogna di qualche ulteriore indagine, la quale 

 potrà eventualmente portare a limitazioni inessenziali, lasciando però integra la sostanza del 

 fatto. A un certo punto del ricordato procedimento si ha da considerare, sopra un piano « , 

 un sistema continuo completo 2 di curve C, d'ordine rn, la cui generica C è dotata di 

 d nodi Pi (i = 1 , ... , d) e tocca in A punti Qj (j — 1 , ... , A) una curva (irriducibile) K. 

 Ogni curva di 2 infinitamente vicina a C passa per P t - , Q; e viceversa — si dice — 

 ogni curva d'ordine m , infinitamente vicina a C , passante per P«,Qj-, ha d nodi infinita- 

 mente vicini a quelli di C e A contatti con K infinitamente vicini ai Qj. Ora il « viceversa » 

 non è senz'altro lecito. Prendiamo infatti le curve d'ordine m di « come « punti » di 



un S N lineare ^N — m ^ m ^~ ^ 1 j > l 6 qo n— 1 curve prossime a C , che hanno un nodo pros- 

 simo a P t -, formano allora una « falda lineare » Ff di S N (ved. le mie citate Vorlesungen, 

 pag. 314). Similmente si ha una falda lineare costituita dalle oo N— 1 curve prossime 

 a C e tangenti a K in un punto dell'intorno di Q,-. L'iperpiano Hi (o lj) tangente ad 

 Fi (o <pj) nel « punto origine » C , è l'imagine delle oo N ~ l curve d'ordine m che passano 

 per P, (o per Qj). Le curve d'ordine m, prossime a C , dotate di d nodi e A-tangenti 

 a K (che son poi tutte le curve di 2 prossime a C ) son quelle comuni alle d-\-X falde 

 F Esse costituiscono una falda V, di origine Co, che è pure lineare, perchè C , 



come punto generico di 2, è semplice. Lo spazio lineare tangente a V - — cioè a 2 — 

 in C è contenuto nello spazio H comune ai suddetti d -f- A iperpiani ; ma — ed è qui 

 il punto essenziale — non è detto che i due spazi coincidano. Non può insomma esclu- 

 dersi che la dimensione di 2 sia inferiore a quella del sistema lineare H delle aggiunte 

 d'ordine m a Co, passanti pei A punti Qj-. Se 2 è di dimensione inferiore a quella di H, 

 la serie caratteristica di 2 non è completa. Nò ad escluder ciò giova avvertire che C 

 è un punto semplice di 2, perchè le </ -f- A falde F t - , <£, potrebbero benissimo toccarsi 

 lungo tutta la V, senza che C cessasse d'esser semplice. Quel che si può affermare è 

 che la dimensione di 2 eguaglia certo quella di H, quando i A punti Q,- impongono con- 

 dizioni indipendenti alle aggiunte d'ordine m a C ; cioè quando la serie caratteristica 

 di 2 è non speciale. 



