degl'integrali semplici di 2 a specie ed il numero dei periodi degli uni e 

 degli altri. 



10. Passerò ora a considerare i legami fra la teoria degli'integrali sem- 

 plici di l a specie, i criteri di equivalenza per le curve tracciate sulla super- 

 ficie F e la teoria della base relativa alla totalità di queste curve. 



Richiamo anzitutto la forma più utile di quel teorema che ho dato 

 altra volta sotto il nome di teorema d'Abel sulle superficie (Annali di 

 Mai, 1905): 



« La condizione necessaria e sufficiente affinchè un sistema continuo di 



* curve algebriche C, tracciate sulla superficie F, sia contenuto totalmente 

 « in un sistema lineare, è che la somma dei valori di ogni integrale sem- 

 « plice di 1 a specie di F, nei punti comuni a C e ad una curva irriduci- 



* bile A, fissata entro un fascio lineare, resti costante al variare con- 

 « tinuo di C » . 



In particolare come curva A può assumersi la sezione della superfìcie F 

 \J{x , y , s) — 03 con un generico piano y = cost. 



La ragione intima del fatto che basta la costanza delle somme fornite 

 nel gruppo variabile (G , A) dagl'integrali semplici di l a specie di F, per 

 affermare la variabilità di C in un sistema lineare, è questa: che le somme 

 dei p integrali abeliani di l* specie appartenenti ad A, nei punti del gruppo 

 (C , A), riduconsi a q linearmente indipendenti. Ciò è stato già notato da 

 Castelnuovo, profittando del fatto che quelle p somme son integrali semplici 

 di l a specie delle varietà di Picard annessa ad F. 



Gioverà precisare maggiormente questo fatto, provando che di quelle p 

 somme le p — q inerenti agl'integrali abeliani di l a specie individuati su A 

 delle curve del sistema aggiunto |A'|, son costanti (mentre le q somme date 

 dagl'integrali di l a specie di F sono in generale indipendenti fra di loro). 

 A questo scopo poniamo in modo generico: 



ove (p = sia una superficie d'ordine m — 2 aggiunta ad F e passante per 

 la retta impropria r dei piani y — cost. ; e indichiamo con x^Zt , y ,Si) , 

 ... , x n (x n , y , z,i) gli n punti d' incontro di una curva G d'ordine n, trac- 

 ciata su F, col piano y = cost. 



Fissiamo inoltre, per un determinato valor iniziale y di y, cui cor- 

 rispondano i punti a?i 0) , ... , x ,( „ 0) di C, i cammini d' integrazione iniziali 

 tf ( i 0) > ••• > lungo cui si calcolano i valori u(x{ 0) ) , ... , u (a4 0) ) dell'integrale w, 

 a partire da un'origine comune dei detti cammini, che sceglieremo in uno, 

 P, dei punti base del fascio y = cost. 



Variando y, a partire da y , variano con continuità i punti di dirama- 

 zione della riemanniana f(x ,y,s) — Q (su cui si distende la funzione 2 di x, 



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