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riguardando y come un parametro) e vengono così definiti per continuità, 

 a partire dai cammini iniziali, i cammini d'integrazione <r, , ... , «"„ su cia- 

 scuna sezione y — cost. Resterà pertanto definito, per ogni y, il valore della 



somma JJ(y) == «(asi) -j f- M (^><)< n 1 liale dipenderà, in generale, oltreché 



dai cammini <r <0) , che si sono scelti come iniziali, anche dal cammino con 

 cui, sul piano ove si distende la variabile complessa y, si va da y al va- 

 lore considerato di y. Vediamo in che cosa consista la polidromia della [un- 

 zione U(//). È a priori ben chiaro che U aumenta di un periodo di u, quando 

 y circola; ma pel seguito ci occorre d'indagare più davvicino quali sono i 

 valori di y attorno ai quali si produce la polidromia e come questa si 

 produca. 



Una circolazione di y, da y ritornando ivi, fa ritornare in sé ogni cam- 

 mino ff (o meglio lo trasforma in uu cammino omologo all'iniziale) sem- 

 prechè il ciclo descritto da y non contenga nel suo interno nessuno dei va- 

 lori singolari, come y = b. Pertanto, poiché u non diviene mai identicamente 

 infinito, comunque vari y (n. 0), U risulta funzione olomorfa di y nell'in- 

 torno di ogni valore non singolare. 



In verità, se y = § è uno dei piani y = cost. tangenti a C, girando 

 attorno a /? si scambiano due dei punti Xi,...,x n , p. es. X\ , sc% , e si 

 scambiano pure i cammini a t , o 2 . Ciò però non produce alcuna alterazione 

 sul valore di U. Infatti, attesa la genericità degli assi coordinati, § si può 

 supporre diverso da un valore singolare e i due punti X\ , x- 2 , all'inizio della 

 circolazione di y attorno a /?, possono ritenersi vicinissimi, sicché insomma 

 i cammini e, , o\> risultano omologhi all'inizio e quindi anche alla fine della 

 circolazione, la quale perciò non produce che uno scambio nei primi due ter- 

 mini di U. Dunque U è olomorfa nell'intorno di /?. 



Resta da esaminare che cosa accade attorno ad un valore singolare 

 y.r= b , relativo al punto di contatto {a , b , e) del piano tangente y = b. 

 Sieno £i , f 2 i due punti di diramazione della riemanniana f(x , y , s) = 0, i 

 quali, col tendere di y a b, tendono a fondersi nel punto (a , b , c) (che di- 

 venta un punto di combaciamento di due fogli). Si avvertirà, anzitutto, che i 

 punti f r ',£ s connettono i medesimi due fogli della riemanniana f(x ,y ,s) = , 

 perchè appunto al limite, sovrapponendosi, devono dar luogo ad un punto 

 doppio di f{x , b , s) = 0. Ciò posto, se uno dei cammini d' integrazione, 

 p. es. or, , incontra la linea di passaggio £, £ 2 , dopo la circolazione di y 

 attorno a b, esso si muta in un cammino omologo a e,- -f- t , ove t è il ciclo 

 (nullo, sulla riemanniana a 4 dimensioni imagine della superficie F), che 

 circonda la predetta linea di passaggio. Invece i cammini ff che non incon- 

 trano tale linea di passaggio si mutano in cammini omologhi, per una cir- 

 colazione di y attorno a b. 



Dunque la variazione di U dipende soltanto degli eventuali cammini 

 incontranti la linea di passaggio tiìt- Comunque, poiché il ciclo r, sulla 



Rendiconti. 1921. Voi. XXX, 1° sem. 38 



