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riemanniaDa a 2 dimensioni f(x , y , z) = 0, è omologo ad una combinazione 

 lineare a coefficienti interi dei 2p cicli fondamentali, così in definitiva, per 

 effetto della circolazione attorno a b, la U si altererà per un periodo 2miWi di 

 Us ove o) 2p sono i 2p periodi fondamentali dell'integrale u. Si av- 



vertirà che gl'interi m dipendono soltanto dalla scelta dei cammini iniziali 

 <r l0) e dalla natura della circolazione che si è fatta compiere ad y. 



Osservazione l a . — Se l'integrale u possiede un valore critico y = a, 

 cosicché risulti (p = (// — v.)ip ,ty = essendo un'aggiunta d'ordine m — 3 , 

 per y — a la somma U si annulla identicamente. In particolare ciò accade 

 per y = oo , quando y>, anziché esser un'aggiunta d'ordine m — 2 passante 

 per r, sia un'aggiunta d'ordine m — 3. 



Osservazione 2 a . — Come abbiamo detto, la XJ è funzione olomorfa 

 di y attorno ad ogni valore non singolare. È facile vedere ch'essa presenta 

 una singolarità di tipo logaritmico in un valore singolare y — b. Invero, 

 perchè in y = b si abbia una singolarità di U occorre (ma neppure basta), 

 che uno almeno dei cammini a t , quando si gira attorno a b, si muti in un 

 cammino omologo a tfj -J- x. Detto allora u(o?i) il valore di u lungo il cam- 

 mino Gì e (Oi(y) il periodò di u lungo t, verrà nell'intorno di y = b: 



*M = Vi(y) + — w{y) log (y — b) , 



ove rji(y) , w(y) son funzioni olomorfe di y attorno ad y = b. Se sono 

 X(X intero <. n) i cicli e, per cui accade questo fatto, nell'intorno di b la 

 funzione U sarà del tipo: 



U = H(y) -|- — J= x a,(y) log (y - b) , 



in cui H(//) = 2rji(y) è olomorfa nell'intorno considerato. 



Osservazione 3 a . — La funzione U è una di quelle che Poincaré 

 chiama funzioni normali v , relative alla curva C. 



11. Supponiamo ora che la curva C sia suscettibile di variare con con- 

 tinuità sulla F, e sia C una curva ad essa vicinissima. Per la genericità 

 degli assi, le C , C non contengono alcun punto singolare (punto di contatto 

 di piani y — cost.). 



Si potrà sempre supporre che C sia così prossima a C, che indicate 

 con à{ 0) , ... , # ( „ c) le intersezioni di C col piano y = y , cioè colla riernan- 

 niana f(x , y , z) = , rispettivamente prossime a x{ 0) , ... , x { % } , il punto xf } 

 appartenga, su tale riemanniana, allo stesso foglio cui appartiene xf\ Indi- 

 cheremo inoltre con o ( , 0) , ... , o^ 0) i cammini, vicinissimi a o\ n) , ... , o" ( „ 0) , che 

 vanno da Pai punti a[ 0) , ... I cammini af* , a ( P saranno omologhi fra 



di loro. 



