2. Les transformations précédeutes étant déterminées, pour leurs appli- 

 cations (sur les quelles nous ne revenous pas), il est essentiel de résoudre 

 la question suivante : 



a) F(x , y) étant ime fonction donnée da premier ordre, réduite à la 

 forme canonique, déterminer, s'il est possible, une Sì telle que F = Sì(l) ('). 



3. L'expression generale da noyàu <P(f ; x , y) des transformations Sì 

 qui conservent la composition contient une fonction arbitraire de deux va- 

 riables. Elle peut étre prise sous diverses formes. 



Nous avons déjà indiqué que l'on peut, sous une restriction de déri- 

 vabilité ( 2 ), poser 



(2) <pg;x,y)=f f d£ p ... \\h G 5 ,Gf, ... & Sp {x,y — S) 

 avec 



(2') Gt&,y) = f(x + Ì; ,y + $) 



f étant arbitraire. 



Cette forme du noyau permet la résolution immediate du problème a), 



VF 



dans le cas où la fonction donnée F(x , y) admet une dérivée seconde 



v ' ~òx ~òy 



finie et continue. Il esiste alors un seul des noyaux précédents tei que 



F = fi(l), 



et on Tobtient immédiatement en posant 



(2") /"== F" h " I — V" 1 F" I F" 



^ 2 F 



F" désignant la dérivée seconde 



~òx }y 



I VF \ 

 4. Dans le cas précédent ( fìnie et continue ) , nous dirons la 



fonction F(x , y) canonique régulière. On peut assurer que toutes les fonc- 

 tions permutables avec elle sont données par l'expression Sì(l) ( 3 ). La 

 forme précédente du noyau <!>(£ ; x , y) est la plus commode pour la repré- 

 sentation par une transformation Sì et pour l'étude du groupe des fonctions 

 permutables avec une fonction canonique régulière. 



( 1 ) On voit immédiatement les modifications à apporter à cet énoncé lorsque F(x,y) 

 est d'ordre quelconque. La question a) est un cas particulier de la suivante, sur la quelle 

 nous reviendrons : déterminer une transformation SI telle que F(a; , y) appartienile au 

 groupe C correspondant 



( 2 ) Loc. cit., Ann. Ec. Norm , pag. 41. 



( 3 ) Pour étre sur que l'on obtient ainsi toutes les fonctions permutables avec F il 

 suffit de songer à l'arbitraire dont elles dépendent. 



