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Dès que l'on cherche à passer à des cas plus généraux, il convient de 

 voir si la formule (2) donne la forme la plus. generale des noyaux ; x,y). 

 Nous verrons que non et nous donnerons une expression tout à fait generale 

 des noyaux <Z> . Tette expression rendra intuitive la nature des transforma- 

 tions Sì. Dans le cas régulier, les formules obtenues semblent plus simples 

 que les précédentes, mais on paye cette simplicité initiale au moment où 

 l'on cherche à résoudre le problème a). 



5. Nous emploierons une méthode indirecte. Donnons nous deux fonctions 

 quelconques de x et de y, m(x ,y) et u(x,y) vériftant la relation 



m -\- n -(- ra n = 

 l'ime étant connue, l'autre en résulte: 



#• * * 



n = — m 4- m 2 — m* -j- m 4 — 

 et l'on a, évidemment 



(3) (1° -f- m) (1° -| n) = (1° 4- n) (1° J r m) = 1°. 

 Envisageons la transformation 



(4) G(x , y) = (i° -f m) ì( I 9 -{- n) 



X étant fonction de y — x. Elle conserve la composition, car si l'on a 



Gj = (1° -f- m) 1,(1° -f n) . fa ==? (1° j- m) -f- n) , 



# # # * • » * # 



il en résulte, gràce à (3), Gì G 2 = ( 1° -j- m) A, A 2 (l° -|- n) . Elle est de la 

 forme (1), cornine on le constate par un calcili simple, et l'on trouve, corame 

 valeur correspondante du noyau 



(5) d>(£ ; x , y) = mx 4- £ ,y) -f- m(x ,y — £) -J- 



4- | m(a5 , »(£ 4- f , y) d£ . 



• X 



Nous allons voir que: c'est là V expression generale du noyau d'une trans- 

 formation ii conservant la composition. 



En effet nous avons determinò précédemment (*) l'équation qui caracté- 

 rise de tels noyaux. En remplacant dans cette équation x par zèro et rj 

 par x, en posant entìn 



®{x ;0,y) = n»{x , y) 



on en tire 



Cv-l 



4>(£;x, y) 4- n {x lì) <K = »o(* — »o(* . y — £) 



(*) Ann. Ec. Norm. óquation (4 ). 



