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d'où l'on déduit, en posant 



m = — ih + ni — 



(6) <P(£ ; x , ?/) = -]- ì . >/) -\- m (x , y — £) + 



ry-l 



+ | w ( c , £) w (f + f , y) dC ■ 



»-' oc 



qui a justement la forme (5). Les remarques du début de ce numero per- 

 mettent d'éviter la vérilication, un peu longue, qu'une telle expression sa- 

 tisfait l'équation caractéristique des noyaux et nous sommes certains que (5), 

 m(x , y) étant arbitraire, doDne tous les noyaux d>(£ ; x , y). 



Il résulte aussi de ce qui précède que des fonctions m différentes peu- 

 vent conduire au mérae noyau <J> , c'est-à dire à la méme transformation Sì: 

 pour obtenir, par la formale (5), tous ces noyaux, on peut se borner à envi- 

 sager les fonctions m (x , y) nulles pour x — Q. A chacune d'elles corres- 

 pondra l'un des noyaux tei que 



<É>(£; ,y) = , y) 



et manifestement un seul. 



Il est aisé de déterminer la forme génc'rale des fonctions m et n qui 

 conduisent à un méme noyau O : m et n„ étant un couple de telles fonc- 

 tions, la transformation correspondante est 



l?(2j = (I«4 m )Ì(Ì° +« ). 



Soit m et n un autre couple conduisant à la raème Sì; on peut tòujonrs 

 déterminer et v telles que 



( lo 4 m) = (ì° + m n ) ( ì " -f ft) , (1° -j- n) = (1° + v ) ( 1° + »„) , 



et il résulte de la formule (3) que l'on a alors: /t -j- v -)-/i r = . On 

 doit avoir, quel que soit X : 



(Ì° + m ) ì(l° -}- n ) = (1° + m.) (Ì° + j») 1(1° + *) (1° + »,) , 



d'où l'on tire aisément que v et par conséquent /t doivent appartenir au 

 groupe U. On obtient rìnalement, pour valeur générale de n(x ,y) (condui- 

 sant à un noyau 4> déterminé) l' expression 



H 



(7) n {x , y) -f v(y — x) + r(£ — se) « (£ , y) etè , 



v(y — x) étant arbitraire ; on a une formule analogue pour m(x , y) . 



